Material oficial: prova completa · soluções da OBMEP · acervo do ano.

As resoluções abaixo seguem a numeração do caderno oficial. Abra a prova para acompanhar os enunciados, as alternativas e os diagramas; as explicações aqui são autorais. Tente cada questão antes de consultar a resposta.

Questão 1 — Vagões, cores e bandeiras

a) Os vagões brancos têm números $1,4,7,10,\ldots$; com bandeira, precisam também ser pares. O primeiro depois de 8 é 10.

b) $2023=3\cdot674+1$. O resto 1 identifica um vagão branco.

c) Os brancos pares formam $4,10,16,\ldots,2020$. Seu termo geral é $4+6k$. A condição $4+6k\le2023$ dá $0\le k\le336$, isto é, 337 bandeiras. O vagão 2023 é branco, mas não tem bandeira.

Questão 2 — Perímetro dos hexágonos

Chame o hexágono central de C e numere os seis externos de 1 a 6, em ordem circular. Para $n$ hexágonos pintados e $e$ lados compartilhados, o perímetro é $P=6n-2e$.

a) Para 12 cm, pinte C, 1 e 2: são três contatos e $P=18-6=12$. Para 18 cm, pinte 1, 3 e 5: não há lados comuns e $P=18$.

b) Pinte os externos 1, 2, 4 e 5. São dois contatos e $P=24-4=\boxed{20\text{ cm}}$. Esse é o máximo: incluindo C, há pelo menos três contatos; excluindo C, quatro posições de um ciclo de seis têm pelo menos dois contatos, pois as duas posições vazias separam no máximo dois blocos de posições ocupadas.

c) Na fórmula $P=6n-2e$, ambas as parcelas são pares. Assim todo perímetro possível é par.

Questão 3 — Cartões e múltiplos

a) Uma possibilidade é $6,2,4,8,1,9,3$. Conferindo os pares, temos divisibilidade em todos: 6 por 2, 4 por 2, 8 por 4, 8 por 1, 9 por 1 e 9 por 3.

b) Com oito cartões: $9,3,6,2,4,8,1,5$. Nenhum número se repete e cada par vizinho satisfaz a regra.

c) Use $5,1,7$ ou sua ordem inversa. Entre os cartões disponíveis, só 1 pode ser vizinho de 5 e só 1 pode ser vizinho de 7.

d) Se usássemos os nove cartões, 5 e 7 teriam de ficar nas pontas, ambos ligados ao 1. Mas isso formaria o trecho inteiro $5,1,7$, sem possibilidade de anexar outro cartão: o 1 já teria seus dois vizinhos. Logo não existe uma sequência com os nove.

Questão 4 — Adições com algarismos iguais

Escreva cada parcela como $111a$, com $1\le a\le9$. Assim basta trabalhar com a soma de três algarismos distintos em ordem crescente.

a) Como $1332=111\cdot12$, podemos escolher $3+4+5=12$: $333+444+555=1332$.

b) Como $2109=111\cdot19$, precisamos de $a

  • $222+888+999$;
  • $333+777+999$;
  • $444+666+999$;
  • $444+777+888$;
  • $555+666+888$.

c) Seja $s=a+b+c$, com $6\le s\le24$. O transporte das unidades para as dezenas é $u=\lfloor s/10\rfloor$. O transporte seguinte é $v=\lfloor(s+u)/10\rfloor$. Os algarismos das dezenas e centenas vêm de $s+u$ e $s+v$, reduzidos módulo 10. Para $s=6,\ldots,9$, temos $u=v=0$; para $10\le s\le18$, $u=v=1$; para $20\le s\le24$, $u=v=2$. A única exceção é $s=19$, com $u=1$ e $v=2$. O resultado correspondente é $111\cdot19=2109$.

Questão 5 — Caminhos codificados

a) Para o código 1001001100, percorra por cima dos quadrados 1, 4, 7 e 8 e por baixo dos demais. Começando em A, suba antes do quadrado 1, desça depois dele, suba antes do 4, desça depois do 4, suba antes do 7, desça depois do 8 e, após o 10, suba até B. Essa descrição determina todo o desenho.

b) Cada um dos dez quadrados oferece duas escolhas, cima ou baixo. As passagens verticais ficam determinadas pelas mudanças entre escolhas, então cada palavra binária corresponde a um caminho. Total: $2^{10}=1024$.

c) Nos dois quadrados que se encontram em C, três das quatro combinações locais passam pelo ponto. Os outros oito quadrados são livres. Portanto há $3\cdot2^8=768$ caminhos. Equivalentemente, subtraímos os $2^8$ caminhos que evitam C dos 1024 totais.

Questão 6 — Um invariante de paridade

a) Numere os setores de 1 a 6 no sentido horário, começando pelo setor cinza superior. Faça, em cada etapa, os dois movimentos indicados simultaneamente:

Etapa Movimento anti-horário Movimento horário Quantidades nos setores 1 a 6
Inicial — — $(1,1,1,1,1,1)$
1 $2\to1$ $6\to1$ $(3,0,1,1,1,0)$
2 $3\to2$ $5\to6$ $(3,1,0,1,0,1)$
3 $2\to1$ $6\to1$ $(5,0,0,1,0,0)$

b) Cada bolinha movida troca de cor de setor. Se as duas saem de setores brancos, a quantidade em branco diminui 2; se saem de cinzas, aumenta 2; se saem de cores diferentes, não muda. Como inicialmente há três bolinhas em branco, essa quantidade permanece ímpar.

c) Todas em um único setor produziriam zero ou seis bolinhas no conjunto dos setores brancos. Ambos os números são pares, contrariando o invariante. Portanto a concentração é impossível.

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