Que todo círculo tem a mesma razão entre a circunferência e o diâmetro já se sabia antes de Arquimedes. O valor dessa razão, que hoje chamamos de $\pi$, é que era incerto: os babilônios usavam às vezes $3\frac{1}{8}$, os egípcios algo próximo de $3{,}16$. No pequeno tratado A medida do círculo, Arquimedes fez duas coisas: relacionou a área do círculo com a circunferência e mostrou como calcular $\pi$ com a precisão que se quiser.

A área do círculo

A primeira proposição diz que a área de um círculo é igual à de um triângulo retângulo cujos catetos são o raio $r$ e a circunferência $C$:

$$A = \frac{1}{2}\,r\,C.$$

A ideia é cortar o círculo em fatias finíssimas, como uma pizza, e perceber que cada fatia é quase um triângulo de altura $r$. Arquimedes dá uma demonstração rigorosa por exaustão: mostra que a área não pode ser nem maior nem menor que a do triângulo. Como $C = 2\pi r$, a fórmula vira a conhecida $A = \pi r^2$.

Presos entre dois polígonos

Para estimar $\pi$, Arquimedes inscreveu e circunscreveu polígonos regulares no círculo. O perímetro do polígono de dentro é menor que a circunferência; o do polígono de fora é maior. Dividindo pelo diâmetro, $\pi$ fica preso entre dois números que se podem calcular.

Começou com hexágonos. O hexágono inscrito tem perímetro $6r$, isto é, $3$ diâmetros, e o circunscrito tem perímetro $4\sqrt{3}\,r \approx 6{,}93\,r$. Depois dobrou o número de lados: 12, 24, 48 e, finalmente, 96. A cada passo, usou uma relação geométrica entre o polígono de $n$ lados e o de $2n$ lados.

O resultado final foi

$$3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}, \qquad \text{ou seja,} \qquad 3{,}1408 < \pi < 3{,}1429.$$

O limite superior, $\frac{22}{7}$, ficou tão famoso que até hoje é usado como aproximação escolar de $\pi$.

Contas sem calculadora

A parte mais impressionante é aritmética. Arquimedes não tinha números decimais nem uma notação prática para frações, e mesmo assim precisou de raízes quadradas com muitos algarismos. Logo no começo, usou

$$\frac{265}{153} < \sqrt{3} < \frac{1351}{780},$$

aproximações excelentes ($1{,}73203 < \sqrt{3} < 1{,}73205$), sem explicar como as obteve. Ao longo das quatro duplicações, escolheu sempre arredondar para o lado seguro: para baixo no polígono de dentro, para cima no de fora, de modo que as desigualdades continuassem verdadeiras.

Exercício: o hexágono e o quadrado

Mostre que o hexágono regular inscrito num círculo de raio $r$ tem perímetro $6r$ e que o quadrado circunscrito tem perímetro $8r$. Que limites para $\pi$ eles dão?

O hexágono inscrito se divide em 6 triângulos equiláteros de lado $r$, então cada lado mede $r$ e o perímetro é $6r$. O quadrado circunscrito tem lado igual ao diâmetro, $2r$, e perímetro $8r$. Como $6r < 2\pi r < 8r$, obtemos $3 < \pi < 4$. É o começo do método; os polígonos de mais lados apertam o intervalo.

Exercício: quão boa é a média?

Calcule a média dos dois limites de Arquimedes, $3\frac{10}{71}$ e $3\frac{1}{7}$, e compare com $\pi \approx 3{,}14159$.

$3\frac{10}{71} \approx 3{,}140845$ e $3\frac{1}{7} \approx 3{,}142857$. A média é $\approx 3{,}141851$, que difere de $\pi$ em cerca de $0{,}0003$. O erro relativo é de uma parte em dez mil: suficiente para qualquer construção da Antiguidade.

Fontes: Arquimedes, A medida do círculo, proposições 1–3 · Thomas L. Heath, The Works of Archimedes (1897) · Petr Beckmann, A History of π (1971) · Jonathan M. Borwein, “The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond” (2014).

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