Euler's Eyes
2022-06-15
Multiplicação dos naturais
Grupos que viram tabuada
Conferir a descoberta
13 = 8 + 4 + 1. Somamos 48 + 24 + 6 = 78. A linha dos 2 grupos não entra nessa soma.
Neste post, vamos falar da multiplicação dos números naturais. Vale lembrar, que a multiplicação é um caso especial da adição. De fato, basta somarem parcelas iguais.
A multiplicação é ensinada no nível fundamental à partir do 3° ano do fundamental. Este assunto foi estudado por Egípcios, Oriente (Japão e China) e Hindus.
| Escrita | Arte da Escrita |
|---|---|
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Somar parcelas iguais, nos remete a conceitos de dobro, triplo, dentre outros.
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O dobro de \(a\) é \(2a = a + a\)
- O dobro de \(2\) é \(2~.~2 = 2 + 2 = 4\)
-
O triplo de \(a\) é \(3a = a+ a+ a\)
- O triplo de \(5\) é \(3~.~5 = 5 + 5 + 5 = 15\)
-
E assim por diante.
Em resumo, multiplicar um número natural \(a\) por um número natural \(n\), ou seja, adicionamos \(n\) parcelas igual a \(a\).
$$na = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes} }$$$$n~.~a = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes}}$$$$n\times a = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes}}$$
O quádruplo de \(7\) é \(4~.~7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28\).
O método de multiplicação pelo método visual (quadriculados) é o seguinte:
- tomamos o números de quadriculados do lado a
- multiplicamos pelo número de quadriculados do lado b
- o resultado é obtido à partir da contagem de quadriculados do quadrado completo.
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Propriedade da multiplicação
Já ouviram falar que a ordem dos tratores não alteram o viaduto?
| Viaduto | Tratores |
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Mas o que isso tem com a multiplicação? A frase verdadeira é que a ordem dos fatores não altera o produto.
- Portal Impa: Multiplicação, contando objetos dispostos em modo retangular
Propriedade Comutativa
Isto que dizer que:
$$3\times 5 = 5 \times 3 = 15$$De forma geral:
$$a\times b = b \times a \quad \text{para quaisquer números naturais a e b.}$$
Esta propriedade é a propriedade comutativa.
Propriedade Distributiva
| Propriedade | Distributiva |
|---|---|
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Da figura notamos que vale a propriedade distributiva:
Portanto:
$$c\times (a+b) = (c\times a) + (c\times b) \quad \text{para quaisquer números naturais a, b e c.}$$
- Portal Impa: Propriedade distributiva
Propriedade associativa
A propriedade associativa é obtido à partir de um arranjo do tipo paralelepípedo.
| Paralelepípedo | Área do paralelepípedo |
|---|---|
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As dimensões do paralelepípedo é dada pelos lados a, b e c. A área do paralelepípedo é dada por:
$$A_{\text{paralelepípedo} } = a\times b\times c = (a\times b)\times c = a\times (b\times c) $$Portanto:
$$a\times b\times c = (a\times b)\times c = a\times (b\times c) \quad \text{para quaisquer números naturais a, b e c.}$$
Propriedade da potência
A propriedade da potência é obtida à partir da multiplicação de repetidos valores. Por exemplo:
$$\underbrace{a \times a \times\dots \times a}_{\text{a multiplicado n vezes} } = a^n \quad \text{a multiplicado por ele mesmo n vezes}$$
Propriedade da raiz quadrada
O ensino da atualidade é baseada em um processo, em que a informação foi perdida ao longo do tempo. As crianças aprendem de forma totalmente equivocada ou com muita perda de informação. Por exemplo, a informação que tenho de meus filhos, é que a raiz quadrada de um número é algo extremamente difícil. Mas muito pelo contrário NÃO.
A palavra
- raiz quadrada
Em Latim representa
- lado do quadrado
Por exemplo, tomamos a \( \sqrt{4}=2\), a resposta é em módulo. Porém, nesta época não tínhamos a noção dos números negativos. Esta é uma informação que foi perdida ao longo do tempo, isto é, tornamos uma notação estéril. O leitor verá que as notações semióticamnete ativas, são as que evoluíram para o avanço da matemática.
A raiz quadrada sob ótica da linguagem latina (latim)
radix quadratum 4 aequalis 2
Que traduzimos como:
o lado do quadrado de área 4 é igual a 2
Como dito, a informação foi perdida ao longo do tempo:
radix quadratum 4 aequalis 2
rad quad 4 aq 2
ra qua 4 aq 2
r q 4 aq 2
De repente o r engole o número:
$$ \sqrt{4}=2$$
Tábuas de Multiplicação
As tábuas de multiplicação é o que conhecemos atualmente como tabuada, que serve como arma de tortura por professores do ensino fundamental. Porém, foi sempre utilizada pelo bem e não pelo mal, por professores da atualidade. A figura a seguir, mostra a tabuada do 1 ao 10.
Note que, a diagonal da multiplicação da linha, pela coluna é o que outros matemáticos usavam como raiz quadrada (lado do quadrado), como dito na seção de introdução. Com efeito:
$$\text{radix quadratum (lado do quadrado)}~ 4~\text{aequalis (igual)}~2 \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{4}=2$$
A matemática não é magia e sim uma arte e não a decoreba da escola fundamental. Como podemos observar arte na tabuada?
- A diagonal da tabuada é composta da propriedade da potência por 2.
- Propriedade da potência $$2^2 = 4, \quad 3^2=9, \quad 4^2 = 16, \quad \dots 9^2=81$$
- A tabuada do 2 é composta por números pares apenas.
- Já do 3, é intercalada entre números pares e ímpares.
- A do 4, além de apenas pares, é o dobro da tabuada do 2.
- A do 5, são terminados em 0 ou 5.
- A do 6, além de intercalada entre números pares e ímpares, é o dobro da tabuada do 3.
- A do 7, basta somar a tabuada do 6 pela linha a ser multiplicada.
- A do 8, tem as mesmas propriedades das tabuadas do 2 e do 4 e é o dobro da tabuada do 4.
- Finalmente a do 9, a dezena cresce a partir do zero, já a unidade decresce à partir do 9.
A tabuada do 9 em particular:
$$\text{unidades:} ~~ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow \dots \rightarrow 9$$$$\text{dezenas:} ~~ 9 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow \dots \rightarrow 0$$
Por exemplo, para \(9\times 7\) temos:
$$\text{unidades:} ~~ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6$$ $$\text{dezenas:} ~~ 9 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3$$Portanto, o resultado é:
$$9\times 7 = 63$$
Algortmos de Multiplicação
A seguir vamos apresentar alguns algoritmos de multiplicação. Agora qual a escolha, vai do usuário, pois na matemático, temos diversas formas de calcular e a escolha é da pessoa em que vai utilizar.
- Portal Impa: Multiplicação
Método da Decomposição
A seguir vamos apresentar o algoritmo da decomposição. Para isto, tomamos 10 x 273, observe o método a seguir:
Agora, vamos observar o próximo exemplo que vai servir de motivação para o método ensinado nas escolas tradicionais.
Método da Decomposição Remodelada
A seguir vamos apresentar o algoritmo da decomposição remodelada. Para isto, tomamos 35 x 273, observe o método a seguir:
Para facilitar a compreensão das crianças, os professores retiram o zero e substituem por espaços em branco.
- Portal Impa: Multiplicação com 2 algarismos
Multiplicação dos Egípcios
O sistema de numeração egípcio era simbólica em que a ordem não importava. Isto é uma desvantagem quando temos números muito grandes. As principais operações aritméticas eram adição e multiplicação efetuadas por sucessivas duplicações.
As operações eram derivadas da soma, mais especificamente, a multiplicação é obtida através da duplicação sucessiva de quantidades ao usarmos duas colunas. A primeira é um dos fatores do produto que desejamos calcular. O algoritmo é dado a seguir:
- Cada linha da tabela é preenchida com o dobro dos valores da linha anterior;
- Os números à esquerda não necessitam ultrapassar o número a ser multiplicado, devemos tomar o valor mais próximo;
- Logo após sucessivas duplicações, somamos a coluna da direita, em que os valores correspondentes da coluna da esquerda cheguem ao número a ser multiplicado.
Exemplo: A seguir calcule 21 x 37
| $$2^{\text{número da linha}}$$ | $$\text{Valor multiplicado}~\times 2$$ |
|---|---|
1 |
37 |
| 2 | 74 |
4 |
148 |
| 8 | 296 |
16 |
592 |
Note que 1 + 4 + 16 = 21, para coluna da esquerda. Já na coluna da direita 37 + 148 + 592 = 777. Portanto,
$$21 \times 37 = 777$$Isto é misticismo?
Muitos perguntam se este método egípcio está certo. Mas será que esta?
Eu, Euler, como matemático, deve mostrar que é verdade. De fato:
$$a = a_n~.~b^n + a_{n-1}~.~b^{n-1} + a_{n-2}~.~b^{n-2} + \dots + a_{2}~.~b^{2} + a_{1}~.~b^{1} + a_0$$
Teorema:Dado um número inteiro b (número base), maior que a unidade (um), temos que cada inteiro positivo a pode pode ser escrito de forma única dada por:em que cada \(a_i\) pertence ao intervalo \([0,b)\), com \(a_n\) diferente de zero e n maior ou igual a zero.
Sem perda de generalidade, tomamos a decomposição no sistema binário, isto é, a base 2. Desta forma, temos:
$$a = a_n~.~2^n + a_{n-1}~.~2^{n-1} + a_{n-2}~.~2^{n-2} + \dots + a_{2}~.~2^{2} + a_{1}~.~2^{1} + a_0~.~2^0$$Ao decompormos um número natural para a base 2, os coeficientes que aparecem são binários, ou seja, zero ou um, pois \(a_i\) pertence ao intervalo \([0,2)\). Isto é devido ao divisor de 2 implicar em resto um, se o número for ímpar e resto zero se o número for par. Como \(a_i=0\) ou \(a_i=1\) para todo índice \(i\) entre 0 e \(n\).
De volta oa exemplo, observe:
$$21=16+4+1=1~.~2^4 + 0~.~2^3 + 1~.~2^2 + 0~.~2^1 + 1~.~2^0$$Agora, calculamos:
$$21 \times 37 = (16+4+1)\times 37 = 592+148+37=777$$A multiplicação adotada por Lucas Pacioli
Multiplicha
A principal obra de Lucas Pacioli é:
Procedimento para multiplicar
$$23\times 12 = 276$$
O procedimento deste cálculo é feito da seguinte forma:
Multiplicamos a linha pela coluna, por exemplo, na primeira linha temos \(1\times 2 = 02\) e \(1\times 3 = 03\)
Da mesma forma, na segunda linha temos \(2\times 2 = 04\) e \(2\times 3 = 06\)
Ao somarmos as diagonais, temos na primeira diagonal \(0\), na segunda \(0+2+0=2\), na terceira \(3+0+4=7\) e a última \(6\)
Portanto, temos \(0276\), isto é, \(23\times 12 = 276\)
Esta técnica ficou conhecida como Gelosia, como dito por Lucas Pacioli:
Mais um misticismo?
Ao voltarmos ao exemplo de Lucas Pacioli:
| Decompor os números | Centena | Dezena | Unidade |
|---|---|---|---|
| $$20\times 10=$$ | 2 | 0 | 0 |
| $$3\times 10=$$ | 0 | 3 | 0 |
| $$20\times 2=$$ | 0 | 4 | 0 |
| $$3\times 2=$$ | 0 | 0 | 6 |
| Total | 2 | 7 | 6 |
Método de Pacioli visual (Método japonês)
Para ficar mais didático, diversos vídeos do youtube foram usados para ajudar a entender o método de Pacioli. Aqui vamos usar o vídeo da professora Luciana Fernandes:
Como exemplo tomamos a multiplicação de \(12 \times 12\)
| Construção do 12 | Construção do 12x12 |
|---|---|
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Para efetuarmos a multiplicação temos que separar os cruzamentos da centena, dezena e unidade:
- Cruzamentos da unidades (lado direito), temos um total de 4 cruzamentos;
- Cruzamentos da dezena (centro), temos um total de 4 cruzamentos;
- Cruzamentos da centena (lado esquerdo), temos um total de 1 cruzamento;
- Resultado 144.
| Resultado |
|---|
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O importante é observar a semiótica da matemática e não decorar como um bicho de estimação.
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