A dança das duplas

Seis bolinhas formam três duplas; sete deixam uma sozinha.
Monte duplas com tampinhas. Acrescente uma: um número par se transforma em ímpar.
Doze bolinhas organizadas em três fileiras de quatro.
Doze é par. Você consegue reorganizar estas bolinhas em seis duplas?

Para definirmos quem começa em uma partida de futebol, esconde-esconde, dentre outros, as crianças usam o jogo do par e ímpar. Quem nunca usou o par e ímpar para brincadeiras de mão. O primeiro uso deste conceito foi na Grécia antiga, com a escola pitagórica.

Para e ímpar

A ideia era usada para definirmos:

  • par: como algo que pode ser repatido em partes iguais.
  • ímpar: como algo que não pode ser repatido em partes iguais.
Para e ímpar

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Definição dos pares e ímpares

Uma observação importante é que:

Todo número par é divisível por 2.

Desta forma, podemos observar que os números são agrupados dois a dois. Com efeito:

Par

$$6 = (1+1) + (1+1) + (1+1) = 3 \times (1+1) = 2\times 3 $$

Ímpar

$$7 = (1+1) + (1+1) + (1+1) + 1 = 3 \times (1+1) + 1 = 2\times 3 + 1$$

Se todas as bolinhas formam duplas, o número é par. Se sobra uma, é ímpar.

Forma geral de definir os pares e ímpares

De forma geral, os números pares e ímpares podem ser representados como:

Par

$$n= 2q $$

Ímpar

$$n = 2q + 1$$

para todos \(q\) um número natural

.

Para o caso particular para n igual a 3 temos que:

$$7 = 2\times 3 + 1 = 2 q + 1 $$

$$6 = 2\times 3 = 2 q $$

Conjunto dos pares e ímpares

O conjunto dos número naturais podem ser representados como dois conjuntos disjuntos constituídos por pares e ímpares:

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2 , 3, 4, \dots\}$$ Para e ímpar
$$ \begin{aligned} \mathbb{N} &= \{ \{\text{par}\} , \{\text{ímpar}\} \}\\ \mathbb{N} &= \{ \{0, 2, 4 , 6, 8, \dots\} , \{1, 3, 5, 7\} \}\\ \end{aligned} $$
Natural $$\mathbb{N}$$ Par $$n = 2q$$ Ímpar $$n = 2q+1$$
0 0 1
1 2 3
2 4 5
3 6 7
4 8 9
5 10 11
$$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$

Os jogos usam números pares e ímpares e de bastante uso no cotidiano.

Para e ímpar

Propriedade dos pares

Uma propriedade importante de devemos ter em mente é que soma ou diferença entre pares é par. Por exemplo:

  • 12 + 6 = 18
  • 4 + 2 = 6
  • 12 - 6 = 6
  • 4 - 2 = 2

A soma ou diferença de dois números ímpares é par. Por exemplo:

  • 3 + 1 = 4
  • 9 + 3 = 12
  • 3 - 1 = 2
  • 9 - 3 = 6

Como mattemático é igual a São Tomé, temos que ver para crer. Então vamos provar se é verdade.

Proposição: A soma ou diferença entre dois números pares é par. Assim como a soma ou diferença entre dois números ímpares é par.

Demonstração:

Sejam a e b dois números naturais de mesmo tipo (par, par) ou (ímpar, ímpar).

  • Caso 1:

Suponhamos os dois pares (par, par). Então existem dois números naturais n e m, tais que:

$$ \begin{cases} a = 2n\\ b = 2m\\ \end{cases} $$

Com isso, temos que a soma:

$$a + b = 2n + 2m = 2(n+m)= 2q \quad \text{com q natural}$$

Como q é natural, temos que:

$$a+b \quad \text{é par}$$

A diferença é obtida de forma análoga.

  • Caso 2:

Agora, suponhamos os dois pares (ímpar, ímpar). Então existem dois números naturais n e m, tais que:

$$ \begin{cases} a = 2n + 1\\ b = 2m + 1\\ \end{cases} $$

Com isso, temos que a soma:

$$a + b = 2n + 1 + 2m + 1 = 2(n+m+1)= 2p \quad \text{com p natural}$$

Como q é natural, temos que:

$$a+b \quad \text{é par}$$

Da mesma forma que no caso 1, a diferença é obtida de forma análoga. \(\square\)

Um outro resultado importante é a soma ou diferença de número par e ímpar é ímpar. Por exemplo:

  • 3 + 2 = 5
  • 9 + 4 = 13
  • 3 - 2 = 1
  • 9 - 4 = 5

O resultado geral é o seguinte:

Proposição: A soma ou diferença entre uma dupla (par, ímpar) é ímpar.

Demonstração:

Exercício. \(\square\)

Estes são os principais conceitos de números pares e ímpares. Esperem os próximos posts.