Para calcular órbitas pelos mínimos quadrados, Gauss precisava resolver sistemas de equações com muitas incógnitas. Dois nomes que todo estudante conhece vêm dessa história: o determinante e a eliminação de Gauss.

O determinante. Pegue um sistema com duas equações:

$$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$

Tudo depende do número $ad - bc$ no denominador: se ele não for zero, o sistema tem uma única solução. Esse número “determina” o sistema.

O sistema, o número ad − cb e a notação com barras.
O sistema, o número ad − cb e a notação com barras.Acervo Euler’s Eyes
A regra para duas linhas: a₁₁·a₂₂ − a₂₁·a₁₂ = determinant.
A regra para duas linhas: a₁₁·a₂₂ − a₂₁·a₁₂ = determinant.Acervo Euler’s Eyes
*Matrix*, em latim, quer dizer útero: o lugar onde algo é gerado.
Matrix, em latim, quer dizer útero: o lugar onde algo é gerado.Acervo Euler’s Eyes

A palavra apareceu pela primeira vez nas Disquisitiones de Gauss, em 1801. Ele chamou de determinans o número que decide as propriedades de uma forma do 2º grau, $ax^2 + 2bxy + cy^2$. Em 1815, o francês Augustin-Louis Cauchy adotou o termo e deu o crédito:

Gauss serviu-se com bastante vantagem dessa denominação nas suas pesquisas analíticas, para descobrir as propriedades gerais das formas do segundo grau. Eu conservarei essa denominação.

— Augustin-Louis Cauchy, Journal de l'École Polytechnique, 1815
  1. 1750
    Gabriel Cramer resolve sistemas com fórmulas que hoje escrevemos com determinantes.
  2. 1801
    Gauss usa a palavra determinans nas Disquisitiones Arithmeticae.
  3. 1815
    Cauchy adota o termo déterminant no sentido de hoje.
  4. 1841
    Arthur Cayley escreve o determinante entre duas barras verticais.
  5. 1850
    James Joseph Sylvester cria a palavra matrix.

A eliminação de Gauss. Com três ou mais incógnitas, as fórmulas ficam enormes. O caminho de Gauss é ir eliminando uma incógnita de cada vez, até sobrar uma equação com uma incógnita só. Veja com um exemplo:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 11 \\ x + 2y + 3z = 14 \end{cases}$$

Eliminando passo a passo (clique para avançar)

  1. Tire o $x$ da 2ª equação: (2ª) − 2·(1ª) dá $y - z = -1$.
  2. Tire o $x$ da 3ª equação: (3ª) − (1ª) dá $y + 2z = 8$.
  3. Tire o $y$: subtraindo as duas novas equações, $(y + 2z) - (y - z) = 8 - (-1)$, ou seja, $3z = 9$ e $z = 3$.
  4. Volte subindo: $y - 3 = -1$ dá $y = 2$, e $x + 2 + 3 = 6$ dá $x = 1$.
  5. Confira na 3ª equação: $1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14$. ✓

O método já aparecia num livro chinês de quase 2000 anos, Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática. Gauss o organizou para os cálculos de astronomia, e é ele que os computadores usam até hoje para resolver sistemas com milhares de incógnitas.

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