John Napier foi tão importante para as aplicações em finanças, que motivou Leonhard Euler a se aventurar nesta área. Um dos números irracionais mais importantes com aplicação em finanças, é devido a estes dois matemáticos.

Tabua.

Juro Composto

A história do juro composto e o número $e$ foi graças a Jacques Bernoulli entre (1654-1705), em que ficou interessado em descobrir o valor máximo de juros em empréstimos recorrendo à técnica de juros compostos.

Tabua.

Com o juro acumulado à partir do valor inicial, dedicou ao estudo de maximização do ganho.

Como Bernoulli chegou a esta conclusão?

Suponha, com juros simples um capital de R$ 1 com juro de 100% ao final de um ano.

$$ \begin{aligned} c_f &= c(1+p~.~t)\\ &= 1\left(1+\dfrac{100}{100}~.~1\right)\\ &= 1~.~(2)\\ &= R\$ ~2\\ \end{aligned} $$

Neste caso, ganhamos 2 reais ao final de um ano.

Porém, caso uma pessoa proponha que ao invés de 1 ano, a taxa de juro é proporcional ao inverso do período elevado ao mesmo período. No caso ele propõe juro composto ao mês (12 meses = 1 ano).

$$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{12}\right)^{12}\\ &= R\$ ~2,61\\ \end{aligned} $$

Mais um vez, esta pessoa propõe que a taxa de juro composto ao dia (365 dias = 1 ano).

$$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{365}\right)^{365}\\ &= R\$ ~2,71\\ \end{aligned} $$

Não parece muito vantajoso ganharmos 0.71 centavos a mais que na primiera proposta. Mas se o capital fosse de 100 reais, 71 reais pode ser mais vantajoso.

Tabua.

Bernoulli percebeu que o juro tem um certo limite e parece que 2.71 é este fator. O matemático Leonhard Euler entre (1707 a 1783) ficou muito interessado pelos resultados obtidos por Bernoulli. Este número irracional foi uma das maiores revoluções da matemática da época.

Ele demonstrou a irracionalidade deste número através das funções exponenciais e usou frações contínuas. Para ilustramos melhor, vamos mostrar o passo a passo de como chegar ao limite da taxa de juro.

Divisão do ano em 1 período

Inicialmente tomamos:

  • Capital $$C_0=100$$
  • Juros J=100 % no ano
  • Final do primeiro ano $$C_1=C_0+100=200 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2$$
Período Juro Simples Juro Composto
$0$ $100$ $100$
$1$ $100 \left(1+\frac{100}{100}~.~1\right)= 200\quad$ $100~.~\left(1+\frac{100}{100}\right)^1=200$

Divisão do ano em 2 períodos

Inicialmente tomamos:

  • Capital $$C_0=100$$
  • Juros J = 50 % no semestre
  • Final do primeiro semestre $$C_1=C_0+50=150 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{2}\right)^1=1.5$$
  • Final do segundo semestre $$C_2=C_1+75=225 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25$$
Período Juro Simples Juro Composto
0 $100$ $100$
1 $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)= 150\quad$ $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)^1=150$
2 $100~.~\left(1+\frac{50}{100}~.~2\right)= 200\quad$ $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)^2=225$

Divisão do ano em 3 períodos

Inicialmente tomamos:

  • Capital $$C_0=100$$
  • Juros J = 25 % no trimestre
  • Final do primeiro trimestre $$C_1=C_0+25=125 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^1=1.25$$
  • Final do segundo trimestre $$C_2=C_1+31.25=156.25 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^2=1.5625$$
  • Final do terceiro trimestre $$C_3=C_2+39.06=195.31 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^3=1.9531$$
  • Final do quarto trimestre $$C_4=C_3+48.83=244.14 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^4=2.4414$$
Período Juro Simples Juro Composto
0 $100$ $100$
1 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)= 125\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^1=125$
2 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~2\right)= 150\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^2=156.25$
3 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~3\right)= 175\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^3=195.31$
4 $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~4\right)= 200\quad$ $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^4=244.1406$
Tabua.

Divisão do ano em n períodos

O capital corrigido para o enésimo período é dados por: Semelhança de Triângulo.

Tabua.

Limite para n períodos

Sabemos que mesmo para n períodos quaiquer, temos que ter um limite. Leonhard Euler percebeu isto e definiu a constante universal, que apelidou como e de Euler, mas em homenagem a John Napier. Para isto, tomamos:

$$f(n) = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Notamos que:

$$ \begin{aligned} f(1) &= \left(1+\frac{1}{1}\right)^1 = 2 \\ f(10) &= \left(1+\frac{1}{10}\right)^{10} = 2,5937\dots \\ f(100) &= \left(1+\frac{1}{100}\right)^{100} = 2,7048\dots \\ f(1000) &= \left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000} = 2,7169\dots \\ f(10000) &= \left(1+\frac{1}{10000}\right)^{10000} = 2,7181\dots \\ f(100000) &= \left(1+\frac{1}{100000}\right)^{100000} = 2,7181\dots \\ \end{aligned} $$

Desta forma, mais genericamente:

limite e. Tabua.

Número de Euler

Os universitários de plantão, podem reconhecer este resultado em calculo I.

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$
Tabua.

Euler também expandiu em série:

$$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2~.~1} + \frac{1}{3~.~2~.~1} + \frac{1}{4~.~3~.~2~.~1} + \frac{1}{5~.~4~.~3~.~2~.~1} + \dots$$
Tabua.

Resumidamente, temos

$$\text{Euler Napier}\qquad \left(1+\frac{1}{\infty}\right)^\infty = e$$

Só por curiosidade em números complexos, Euler descobriu a relação.

Tabua.

Até o momento é o que podemos falar de juro composto. Aguardem os próximos posts.