O número $e$ pode ser escrito como uma série:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$

Euler teve a coragem de colocar um número imaginário no expoente. Trocando $x$ por $i\theta$ e usando $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$:

$$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$

Separando os termos sem $i$ dos termos com $i$:

$$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}$$

As duas séries entre parênteses são exatamente as do cosseno e do seno. Assim nasce a fórmula de Euler:

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

Geometricamente, $e^{i\theta}$ é um ponto que anda sobre um círculo de raio 1: a parte real é o cosseno e a parte imaginária é o seno. Veja o ponto girar:

O ponto e^(iθ) dá voltas no círculo. A projeção azul é cos θ e a dourada é sen θ. Clique em “Ir para θ = π”.

Agora faça $\theta = \pi$. Como $\cos\pi = -1$ e $\sin\pi = 0$, temos $e^{i\pi} = -1$, ou seja:

$$e^{i\pi} + 1 = 0.$$

Numa só linha aparecem os cinco números mais importantes da matemática ($0$, $1$, $e$, $i$ e $\pi$) e as três operações básicas (soma, multiplicação e potência). Por isso ela é chamada muitas vezes de “a equação mais bonita da matemática”. A fórmula de Euler é usada até hoje em engenharia elétrica, processamento de sinais e física quântica.

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