Leibniz contra os pontos: notação ativa e notação estéril

Em 29 de outubro de 1675, em Paris, Leibniz estava somando infinitas fatias finas debaixo de uma curva e cansou de escrever omnia, “todas”, na frente de cada soma. Anotou no caderno:

Utile erit scribi ∫ pro omnia. (Será útil escrever ∫ em vez de “todas”.)

— Leibniz, manuscrito de 29 de outubro de 1675

O $\int$ é um S esticado, de summa. Duas semanas depois, no mesmo caderno, apareceu o $d$, de differentia, para as diferenças infinitamente pequenas. Com esses dois sinais, Leibniz tinha nas mãos uma linguagem para o cálculo inteiro. Isaac Newton tinha chegado às mesmas ideias dez anos antes, em Cambridge, mas escrevia de outro jeito. Esse é o melhor caso da história para ver como a forma de um signo muda o que se consegue fazer com ele.

Duas escritas para a mesma ideia

Newton pensava em grandezas que fluem com o tempo, como a posição de um corpo em movimento. Chamava a grandeza de fluente e a sua velocidade de variação de fluxão, e passou a marcar a fluxão com um ponto em cima da letra: se a fluente é $x$, a fluxão é $\dot{x}$; a fluxão da fluxão é $\ddot{x}$.

Leibniz pensava em diferenças minúsculas entre valores vizinhos. A diferença de $x$ é $dx$, a de $y$ é $dy$, e a taxa de variação é a razão entre elas, $\dfrac{dy}{dx}$. Lado a lado:

O ponto de Newton é mais curto. Mas repare no que ele esconde: a variável em relação à qual se deriva. Para Newton, era sempre o tempo, e isso estava certo na física dele. Quando uma grandeza depende de outra que não é o tempo, ou de várias ao mesmo tempo, o ponto não tem onde dizer isso.

As palavras por trás dos sinais

Os nomes desse cálculo também guardam imagens. Derivar vem do latim derivare, de de (a partir de) e rivus (riacho): desviar a água de um rio para um canal. A derivada é o que “escorre” de uma função. Tangente vem de tangere, tocar: é a reta que apenas toca a curva num ponto. A differentia de Leibniz vem de differre, separar, levar para lados diferentes: é a pequena distância entre dois valores vizinhos. E a fluxão de Newton é, literalmente, o fluxo, aquilo que flui. Em 1704, no Tractatus de quadratura curvarum, Newton anunciou os seus pontos assim:

Sejam x, y, z quantidades fluentes; as suas fluxões serão designadas por estas notas: ẋ, ẏ, ż.

— Isaac Newton, De quadratura curvarum (1704)

Depois de Newton e Leibniz, outros autores criaram escritas próprias, e cada uma deixa à vista uma parte diferente da mesma ideia:

Nenhuma venceu sozinha. Hoje um mesmo livro usa $f'(x)$ para falar da função derivada, $\frac{dy}{dx}$ para fazer contas com a regra da cadeia e $\dot x$ para a velocidade. Saber trocar de escrita conforme o problema é parte de saber cálculo.

A notação que faz contas sozinha

Leibniz escolheu sinais que se comportam como frações. Não são frações de verdade (o significado rigoroso de $dy$ e $dx$ só foi esclarecido no século XIX, com os limites), mas a escrita foi desenhada para que as manipulações de fração deem o resultado certo nos casos em que deveriam dar. A regra da cadeia é o exemplo clássico: $\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ “cancela” o $dy$ e dá $\dfrac{dz}{dx}$. A regra está desenhada na própria forma do símbolo.

Veja uma conta que os antigos textos deste site usavam como exemplo. Para derivar $f=(x^5-2x)^{\pi}$, chame o que está dentro dos parênteses de $u$:

Então

Quem escreve com a notação de Leibniz não precisa lembrar que tem de multiplicar pela derivada de dentro. A escrita pede isso: falta um $du$ para cancelar, e a única maneira de conseguir é escrever $\frac{du}{dx}$. Para ver o jogo das frações de perto, com números, veja o capítulo sobre a notação de Leibniz.

Isso é o que chamamos, desde o primeiro texto, de notação ativa. Leibniz sabia muito bem o que estava fazendo:

Nos símbolos, observa-se uma vantagem para a descoberta que é maior quando eles exprimem a natureza exata de uma coisa de forma breve e, por assim dizer, a retratam. Então, de fato, o trabalho do pensamento é maravilhosamente reduzido.

— Leibniz, carta a Tschirnhaus (1678)

O mesmo vale para o $dx$ dentro da integral. Ele parece um enfeite, mas trabalha. Para calcular $\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$, faça $u=x^2+1$. Então $\frac{du}{dx}=2x$, e a escrita de Leibniz convida a “passar o $dx$ para o outro lado”: $du=2x\,dx$. A integral vira

É a regra da substituição, e, de novo, ela está desenhada na escrita.

A Inglaterra presa aos pontos

Depois da disputa amarga sobre quem tinha inventado o cálculo primeiro, os matemáticos ingleses fecharam questão: usariam os pontos de Newton, por lealdade. O continente usou os $d$ de Leibniz. Ao longo do século XVIII, quase todos os grandes avanços da análise vieram do continente: os Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace. Os ingleses, com uma notação que não sugeria nada, ficaram para trás por mais de cem anos. Os antigos textos deste site resumiam assim: a notação de Newton era estéril.

Seria injusto dizer que o ponto de Newton morreu. Na física, quando a variável é o tempo, ele é curto e claro, e até hoje se escreve $\dot x$ para a velocidade e $\ddot x$ para a aceleração. O ponto é estéril como linguagem para o cálculo inteiro, não como abreviação para um caso particular. Esse é, aliás, um bom critério: uma notação é ativa quando continua funcionando ao ser levada para problemas novos.

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