Euler's Eyes
2026-10-11
Introdução: convexidade e semiplanos
Uma reta divide o plano em dois lados. Uma figura é convexa quando não tem “reentrâncias”. As duas ideias andam juntas.
Quem descobriu
O primeiro a definir com cuidado uma figura convexa foi Arquimedes de Siracusa (c. 287–212 a.C.), na obra Sobre a esfera e o cilindro, onde usa curvas “côncavas para o mesmo lado” para comparar perímetros. A separação do plano por uma reta foi formalizada por Moritz Pasch em 1882: seu axioma diz que uma reta que entra num triângulo por um lado precisa sair por outro. No fim do século XIX, Hermann Minkowski fez da convexidade uma área própria da matemática.
A história
Arquimedes precisava da convexidade para um problema concreto: provar que o perímetro de um polígono inscrito numa circunferência é menor que o dela, e o de um circunscrito, maior. Com isso ele cercou o valor de π entre $3\tfrac{10}{71}$ e $3\tfrac{1}{7}$.
O axioma de Pasch resolve outra questão: Euclides nunca provou que uma reta separa o plano em dois lados. Ele simplesmente desenhava e via. A partir de Pasch, “estar do mesmo lado de uma reta” passou a ter uma definição precisa — o semiplano —, que será usada para definir o interior de um ângulo.
No dia a dia
- Lentes. Lentes convexas, como as de lupas e de óculos para hipermetropia, concentram a luz; as côncavas a espalham.
- Elástico em pregos. Um elástico solto em volta de vários pregos forma a menor figura convexa que os contém — a “envoltória convexa”, usada em computação gráfica.
- Lados de uma rua. A rua divide o bairro em dois semiplanos: os números pares de um lado e os ímpares do outro.
- Jogos eletrônicos. Detectar colisões é muito mais rápido com formas convexas, por isso os personagens são envolvidos por “caixas” convexas invisíveis.
Fontes: Arquimedes (MacTutor) · Pasch (MacTutor) · Minkowski (MacTutor).
Teoria e construções
Assista à videoaula sobre regiões convexas e semiplanos e depois acompanhe a teoria.
DefiniçãoRegião convexa
Um conjunto de pontos $\Sigma$ é convexo (ou é uma região convexa) se, e somente se, quaisquer dois pontos distintos $A$ e $B$ de $\Sigma$ são extremidades de um segmento $\overline{AB}$ contido em $\Sigma$, ou se $\Sigma$ é unitário, ou se $\Sigma$ é vazio.
Uma região que não é convexa é uma região côncava.
São convexos, por exemplo, uma reta, um plano e um segmento: em todos eles, o segmento que une dois pontos quaisquer fica dentro do conjunto. Já uma região em forma de “L”, de estrela ou de lua minguante é côncava: há dois pontos dela cujo segmento escapa da região.
PostuladoPostulado da separação dos pontos de um plano
Uma reta $r$ de um plano $\alpha$ separa esse plano em dois conjuntos de pontos $\alpha^{\prime}$ e $\alpha^{\prime\prime}$ tais que:
- $\alpha^{\prime} \cap \alpha^{\prime\prime} = \varnothing$, e os dois conjuntos não contêm pontos de $r$;
- $\alpha^{\prime}$ e $\alpha^{\prime\prime}$ são convexos;
- se $A \in \alpha^{\prime}$ e $B \in \alpha^{\prime\prime}$, então o segmento $\overline{AB}$ intercepta a reta $r$.
DefiniçãoSemiplano
Cada um dos conjuntos $\alpha^{\prime}$ e $\alpha^{\prime\prime}$ é um semiplano aberto. Os conjuntos $r \cup \alpha^{\prime}$ e $r \cup \alpha^{\prime\prime}$ são semiplanos. A reta $r$ é a origem de cada um deles, e $\alpha^{\prime}$ e $\alpha^{\prime\prime}$ são semiplanos opostos.