O legado de Évariste Galois

Esta carta, se julgada pela novidade e pela profundidade das ideias que contém, é talvez o escrito mais substancial de toda a literatura da humanidade.

— Hermann Weyl, Simetria (1952)

Galois deixou umas sessenta páginas de matemática, e boa parte delas escrita às pressas. Demorou meio século para que fossem entendidas. Quando foram, mudaram a própria ideia do que é a matemática: em vez de estudar números e figuras, estudar as transformações que os deixam iguais.

A teoria dos grupos

O primeiro livro sobre a teoria de Galois, o Tratado das substituições, do francês Camille Jordan, saiu em 1870. Dois anos depois, o alemão Felix Klein propôs, no seu Programa de Erlangen, que cada geometria fosse definida pelo seu grupo de transformações: a geometria de Euclides estuda o que não muda com rotações e translações; a geometria projetiva, o que não muda com projeções. O norueguês Sophus Lie, conterrâneo de Abel, criou os grupos contínuos, que levam o seu nome e servem para estudar as equações diferenciais como Galois estudou as algébricas.

A semelhança com a obra de Abel é grande, mas há uma diferença. Abel provou que não existia fórmula. Galois explicou por quê, e a explicação valia para todas as equações ao mesmo tempo. A história dessa nova linguagem, que fala de operações em vez de números, está contada também no capítulo Galois e Cayley do livro de semiótica deste site.

Os grupos na natureza

• Física. Em 1918, a alemã Emmy Noether provou que toda simetria das leis físicas corresponde a uma grandeza que se conserva: a simetria no tempo dá a conservação da energia, e a simetria no espaço, a do momento. Em 1961, Murray Gell-Mann organizou as partículas subatômicas com um grupo chamado $\mathrm{SU}(3)$ e previu uma partícula que ainda ninguém tinha visto, o ômega menos, descoberta em 1964.
• Química. Há exatamente 230 grupos de simetria possíveis para a disposição dos átomos num cristal, classificados em 1891. Todo mineral, todo metal e toda proteína cristalizada pertence a um deles.
• Teoria dos números. Andrew Wiles provou o último teorema de Fermat, em 1995, estudando grupos de Galois de equações ligadas a curvas elípticas, as mesmas curvas que nasceram das funções elípticas de Abel.
• Computação. Os corpos finitos estão nos códigos que corrigem erros e na criptografia.

O Monstro

O grupo de 60 elementos que impede a fórmula do quinto grau é simples: não pode ser cortado em pedaços menores. Os grupos simples são os “átomos” de todos os grupos finitos, e encontrar todos eles foi um dos maiores projetos da matemática do século XX. A classificação, terminada em 2004, ocupa dezenas de milhares de páginas escritas por mais de cem matemáticos. Além de algumas famílias infinitas, existem exatamente 26 grupos simples isolados. O maior deles, o Monstro, tem

elementos, cerca de $8\times10^{53}$.

O que ficou

• Teoria das equações. O grupo de uma equação e o critério que decide quais equações se resolvem por radicais.
• Teoria dos grupos. A palavra, a ideia de subgrupo normal e a decomposição de um grupo em etapas.
• Corpos finitos. Os corpos de $p^n$ elementos, que levam o seu nome.
• Geometria. Por meio de Wantzel, Klein e Lie, a explicação das construções impossíveis e a ideia de geometria como estudo das simetrias.
• Ciência. Física das partículas, cristalografia, criptografia e códigos.

Para lembrar

• Évariste Galois viveu de 1811 a 1832. Fez toda a sua obra entre os 17 e os 20 anos.
• O grupo de uma equação é formado pelas permutações das raízes que respeitam todas as relações verdadeiras entre elas.
• Um grupo tem fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. As seis simetrias do triângulo formam o menor grupo não abeliano.
• Uma equação se resolve por radicais exatamente quando o seu grupo pode ser cortado em etapas normais de índice primo. Para o grau 5, o grupo de 60 elementos não se corta.
• Existe um corpo com $p^n$ elementos para cada primo $p$ e cada $n$. O de nove elementos se obtém com um $i$ tal que $i^2=-1$ módulo 3.
• Com régua e compasso só se constroem números que exigem raízes quadradas. Por isso o cubo não se duplica e o ângulo de $60°$ não se trissecta.

Fontes: Peter M. Neumann, The Mathematical Writings of Évariste Galois (2011) · Hermann Weyl, Symmetry (Princeton University Press, 1952) · Mark Ronan, Symmetry and the Monster (Oxford University Press, 2006).

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