No começo do século XIX a óptica era uma coleção de casos: o espelho plano, o espelho curvo, a lente, o prisma, cada um com as suas fórmulas. Hamilton, ainda estudante, perguntou-se se não havia uma única ideia por trás de todos. O resultado foi a Teoria dos sistemas de raios, lida na Royal Irish Academy em 1827 e ampliada nos anos seguintes.

Uma função para governar todos os raios

O ponto de partida é um princípio de Fermat: a luz vai de um ponto a outro pelo caminho que leva o menor tempo, ou, mais exatamente, um tempo estacionário. Hamilton tomou esse tempo como função das extremidades. Para dois pontos $A$ e $B$, seja $V(A, B)$ o “comprimento óptico” do caminho da luz entre eles: a distância percorrida em cada meio, multiplicada pelo índice de refração desse meio. Ele chamou $V$ de função característica.

A surpresa é que essa única função contém tudo. As derivadas de $V$ em relação às coordenadas de $B$ dão a direção do raio que chega em $B$; as derivadas em relação às coordenadas de $A$ dão a direção do raio que sai de $A$. Saber $V$ é saber o sistema inteiro.

Num meio homogêneo de índice $n$, por exemplo, a luz vai em linha reta e

$$V(A, B) = n\,\lvert AB \rvert = n\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$$

Derivando em relação a $x_B$ e $y_B$,

$$\frac{\partial V}{\partial x_B} = n\,\frac{x_B - x_A}{\lvert AB \rvert}, \qquad \frac{\partial V}{\partial y_B} = n\,\frac{y_B - y_A}{\lvert AB \rvert},$$

que é o vetor unitário na direção do raio, multiplicado por $n$. O gradiente da função característica aponta na direção da luz.

Snell a partir do tempo

Um raio sai de $A$, no ar, e chega a $B$, na água, atravessando a superfície num ponto à distância $x$. O tempo é proporcional a

$$V(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2},$$

onde $a$ e $b$ são as alturas de $A$ e $B$ em relação à superfície e $d$ a distância horizontal entre eles. O caminho real é aquele em que $V'(x) = 0$:

$$n_1\,\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = n_2\,\frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} \quad\Longleftrightarrow\quad n_1 \operatorname{sen}\theta_1 = n_2 \operatorname{sen}\theta_2,$$

a lei de Snell, saída de uma derivada.

O ponto P de travessia varia ao longo da interface. Tornar estacionário o comprimento óptico recupera a lei de Snell. Desenho esquemático, sem escala.
O ponto P de travessia varia ao longo da interface. Tornar estacionário o comprimento óptico recupera a lei de Snell. Desenho esquemático, sem escala.Ilustração original · Euler’s Eyes

Por que o raio se aproxima da normal?

Se $n_2>n_1$, a lei de Snell dá $\operatorname{sen}\theta_2=(n_1/n_2)\operatorname{sen}\theta_1$. Para ângulos entre $0°$ e $90°$, isso implica $\theta_2<\theta_1$. A normal é a reta perpendicular à superfície, não a própria superfície. É em relação a ela que medimos os dois ângulos.

O comprimento óptico $V$ tem unidade de comprimento; o tempo de viagem é $V/c$, com $c$ a velocidade da luz no vácuo. Multiplicar por essa constante não muda a condição de estacionariedade.

A previsão

Em 1832 Hamilton aplicou a teoria aos cristais biaxiais, como a aragonita, em que a velocidade da luz depende da direção de um modo complicado, descrito por Augustin Fresnel. Estudando a superfície de onda de Fresnel, Hamilton percebeu que ela tem pontos singulares, em forma de funil. Se um raio entrasse no cristal exatamente numa dessas direções especiais, não sairia como um raio, nem como dois: sairia como um cone de luz, que projetaria um anel numa tela.

Ninguém tinha visto isso. Hamilton pediu ao colega Humphrey Lloyd, do Trinity College, que procurasse o efeito. Depois de cerca de dois meses de trabalho com um cristal de aragonita, Lloyd viu o anel. Foi uma das primeiras vezes em que a matemática previu um fenômeno físico inteiramente novo, antes de qualquer observação, e Hamilton, com 27 anos, ficou famoso em toda a Europa.

A refração cônica interna num livro de óptica de 1912. Um raio $SO$ entra numa placa de cristal biaxial $AB$ na direção especial prevista por Hamilton, abre-se num cone $OMN$ dentro do cristal e sai como um cilindro oco, que desenha um anel na tela $EF$.
A refração cônica interna num livro de óptica de 1912. Um raio $SO$ entra numa placa de cristal biaxial $AB$ na direção especial prevista por Hamilton, abre-se num cone $OMN$ dentro do cristal e sai como um cilindro oco, que desenha um anel na tela $EF$.Thomas Preston e William Edward Thrift, The Theory of Light (1912) · Wikimedia Commons · domínio público
Exercício: o gradiente aponta o raio

Num vidro de índice $n = 1{,}5$, a luz vai de $A = (0, 0)$ até $B = (3, 4)$. Calcule $\frac{\partial V}{\partial x_B}$ e $\frac{\partial V}{\partial y_B}$ e verifique que o vetor tem comprimento $n$.

$\lvert AB \rvert = 5$, então $\frac{\partial V}{\partial x_B} = 1{,}5 \cdot \frac35 = 0{,}9$ e $\frac{\partial V}{\partial y_B} = 1{,}5 \cdot \frac45 = 1{,}2$. O comprimento é $\sqrt{0{,}81 + 1{,}44} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5 = n$, e a direção é a da reta de $A$ para $B$.

Exercício: a luz entrando na água

Um raio passa do ar ($n_1 = 1$) para a água ($n_2 = 1{,}33$) com ângulo de incidência de $30°$. Qual o ângulo de refração?

$\operatorname{sen}\theta_2 = \frac{1 \cdot \operatorname{sen} 30°}{1{,}33} = \frac{0{,}5}{1{,}33} \approx 0{,}376$, então $\theta_2 \approx 22{,}1°$. O raio se aproxima da vertical ao entrar no meio em que a luz é mais lenta.

Fontes: William Rowan Hamilton, “Theory of Systems of Rays”, Transactions of the Royal Irish Academy (1828) e “Third Supplement” (1837) · Humphrey Lloyd, “On the phenomena presented by light in its passage along the axes of biaxal crystals”, Transactions of the Royal Irish Academy (1837) · Michael Berry, “Conical diffraction: Hamilton’s diabolical point at the heart of crystal optics”, Progress in Optics (2007).

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