Proporções e Geometria

Nos posts anteriores falamos das proporções e suas principais aplicações. Aqui, vamos abordar de forma geométrica e é muito importante para continuidades nos estudos de matemática. Estes conceitos foram muito abordados por Euclides, que foi um matemático grego que viveu no século III a.C. e que foi o responsável por criar a geometria que conhecemos hoje.

Este tipo de situação aparece bastante em geometria, por exemplo, semmelhança de triângulo, teorema de Tales, dentre outros

A noção de semelhança e proporcionalidade foi utilizado por matemáticos da grécia antiga e encontraram métodos de calcular os tamanhos dos astros, como da Terra, do Sol e da Lua.

Semelhança de Triângulos

A ótica usada nos vestibulares foi descoberta por Pierre Fermat em sua obra Variar Opera Mathematica de 1679. Seu nome original é Clement Samuel Fermat, mas ficou conhecido como Pierre Fermat. Dos estudos de Fermat destacamos dois resultados importantes:

Reflexão da Luz	Refração da Luz

Este é um exemplo, em que utilizamos a semelhança de triângulos. A semelhança de triângulos é um conceito que diz que dois triângulos são semelhantes se eles possuem as mesmas proporções entre os lados e ângulos.

A principal motivação da semelhança de triângulos é justamente do caso particular dos qudriláteros. Lembremos da definição:

Triângulo é um polígono de três lados, em que usamos para os lados um segmentos de reta. Ela é um caso particular de quadriláteros, pois é um quadrilátero dividido por 2.

Em particular um triângulo é formado por 3 vértices.

Outra definição para triângulo é pela origem do nome:

• Tri é definido como 3 (três);
• Ângulo é a “abertura” entre duas segmentos de reta, ligadas por um vértice.

Congruência Ângulo - Ângulo

O primeiro Canon (lei de Deus) definido por Euclides é:

Canon α et (mais) β et (mais) γ aequalis (igual) 180°

Lei de deus α + β + γ = 180°

Triângulo	Ângulos	Meia Volta

Desta forma, podemos definir o primeiro cirtério para proporcionalidade de triângulos por ângulos.

Critério (ângulo, ângulo): se dois triângulos obtiverem ordenadamente dois ângulos congruentes entre si, então eles serão semelhantes.

Da figura obtemos:

• Ângulo do vértice B é congruente $\equiv$ (igual) ao ângulo do vértice E;
  • $\angle B \equiv \angle E$
• Ângulo do vértice A é congruente $\equiv$ (igual) ao ângulo do vértice D;
  • $\angle A \equiv \angle D$

Congruência Lado - Ângulo - Lado

Critério (lado, ângulo, lado): caso dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais entre si, e os ângulos entre tais lados forem congruentes (iguais), então os triângulos serão semelhantes.

Desta forma, obtemos a seguinte proporcionalidade:

Congruência Lado - Lado - Lado

Critério (lado, Lado, lado): se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais entre si, então eles serão semelhantes.

Desta forma, obtemos a seguinte proporcionalidade:

Exemplo Clássico

Clássico: Os dois triângulos a seguir são semelhantes. Determine a medida do segmento DF.

Resolução:

Da semelhança de triângulos obtemos:

Exemplo de Vestibular (Fuvest)

Fuvest: Na figura a seguir, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, $AB=1$ e $AC=3.$ Quanto mede o lado do quadrado?

Resolução:

Inicialmente, vamos aplicar o critério (lado, ângulo, lado). Como o ângulo A é reto, então podemos aplicar o critério (lado, lado, lado).

Desta forma, temos:

Portanto, o lado do quadrado é $\dfrac{3}{4}$.

Teorema de Tales

O próximo tópico com uso de proporcionalidades é o teorema de Tales de Mileto. Este grande geômetra foi muito reconhecido no século VI a.C.

Estas grandes contribuições o fizeram ser reconhecido como um dos percursores da geometria descritiva.

Teorema de Tales: é a proporcionalidade aplicada à geometria. Se um feixe de retas paralelas, com no mínimo três retas, é intersectado por duas retas transversais, então dois segmentos quaisquer de uma das transversais são proporcionais aos segmentos correspondentes da outra.

Três paralelas cortadas por duas transversais, formando quatro segmentos.

Ao usarmos o conceito de semelhança de triângulos, observamos como a figura a seguir:

Portanto, obtemos a seguinte relação de proporcionalidade.

Exemplo Tales

Encontre o $x$.

Do teorema de Tales obtemos: