Quantificador

Todo ser hunano tem uma certa tendência a generalizar um pensamento, por exemplo, se uma pessoa tem pensamento político contrária ao seu, então você é de tal ala política. Principalmente com a polarização política direta / esquerda, mas é só um exemplo.

Para não causar polêmica, vamos apresentar outros exemplos:

• “Todos os gatos são amarelos”.
• “Existe pelo menos um jacaré verde”.

Estes são exemplos de proposições simples. Ao usarmos os conectivos , os problemas começam a aparecer. Por exemplo:

• p: “todos ratos são pretos”;
• q: “todos os ratos são brancos”.

Rato branco	Rato preto

Conectivos

Ao utilizarmos o conetivo “e” para as proposições acima, temos que $p$ e $q$ ($p\wedge q$) representa que:

• todos os ratos são pretos e brancos.
• os ratos têm duas cores?

Agora se utilizarmos o conetivo “ou”, temos que $p$ ou $q$ ($p\vee q$) representa que:

• todos os ratos são pretos ou brancos.
• Neste caso a sentença é verdadeira se:
  • todos os ratos forem pretos ou todos forem brancos.
  • todos forem pretas e brancas ao mesmo tempo.

A palavra todos é um exemplo de quantificador, existem outros quantificadores como:

• Algum
• Nenhum
• Dentre outros

Conectivos auxiliares

Existem outros quantificadores que auxiliam os conectivos citados anteriormente a trabalhar como concetores, por exemplo:

• Existe $(\exist)$
• Para todo $(\forall)$

Vale lembrar que matemático não é calculadora, mas uma pessoa que generaliza um pensamento. Por exemplo:

• O matemático não calcula $1 + 2 = 3$
• E sim , dados $x$, $y$ dois números naturais, o soma cujo resultado é 3 é dada por:
  • $x$ pode ser 1 ou 2, assim como $y$ pode ser 1 ou 2.
  • Suponha $x$ 1, desta forma, obtemos $y$ igual a 2 ou vice versa.
  • Com isso, notamos que $x+y=y+x = 3$ independente se $x=2$ ou $x=1.$

Generalização do pensamento

Desta forma, em um pensamento mais genérico temos que:

• $x$ é branco
• Com isso, $x$ é um objeto qualquer, que pode ser animal, vegetal ou qualquer outro objeto que podemos atribuir a $x$.

Por enquanto, não podemos afirmar se a proposição é verdadeira ou não.

Agora ao usarmos o conectivo auxiliar para todo, podemos reformular a proposição.

• Para todo $x$, $x$ é branco.
• $\forall x, \quad x ~ \text{é branco}$
• Dado $x$ representado pelo rato, podemos verificar que é o mesmo que
  • “Todo rato é branco”.

Vale lembrar que para este exemplo é falso. A ideia não falar se a proposição é falsa ou verdadeira, mas sim generalizar o pensamento. O $x$ pode ser um objeto qualquer, que poderia ser atribuída qualquer adjetivo.

Agora observe que ao usarmos o conectivo existe $(\exist)$, podemos reformular a proposição.

• Existe $x$, tal que para algum $x$ é branco.
• $\exist x, ~ \text{tal que, para algum } x ~ \text{é branco}$
• Dado $x$ representado pelo rato, podemos verificar que é o mesmo que
  • “Existe pelo menos um rato branco”.

Essa proposição pode ser verdadeira.

Em matemática o que representa para todo $x$ $(\forall x)$?

A resposta é que para qualquer $x$ que tomarmos, a proposição atribuída é verdadeira.

• Seja $B(x)$ a representação do objeto $x$ como branco.
• Seja $P(x)$ a representação do objeto $x$ como preto.
• Podemos reformular a proposição como:
  • $\forall x, ~(B(x) \vee P(x))$, ou seja, para todo (ou para cada) rato, o rato é branco ou rato é preto.
  • que é diferente de $\forall x, ~(B(x) \wedge P(x))$, ou seja, para todos (ou para cada) rato, o rato é branco e preto (tipo malhado).

Resumo do pensamento:

Seja $Q(x)$ uma sentença qualquer

• $(\forall x, Q(x) )$ significa que para cada $x$, a afirmação $Q(x)$ é verdadeira.
• $(\exist x, Q(x))$ significa que temos pelos menos um valor de $x$ de tal foram que $Q(x)$ seja verdadeira.

A sentença $Q(x)$ pode ser composta como $(B(x) \vee P(x))$ ou outro definido.

Negação da sentença

Um problema muito importante e que pode causar bastante confusão, é quando negamos uma sentença. Por exemplo, tomamos:

Ao negarmos esta sentença, temos:

O que significa esta sentença? A resposta é que não é verdade que todo $x$ que tomarmos, a afirmação $Q(x)$ satisfaz a propriedade. Equivalentemente a:

Aqui devemos tomar muito, mas muito cuidados, pois isso é diferente de:

Esta sentença significa que para todos os valores de $x$ que tomarmos, não satisfaz a propriedade $Q(x)$. Em outras palavras é o mesmo que:

Nos próximos posts vamos usar esses conceitos para demonstração de resultados.