Euler's Eyes
2026-10-11
O último teorema de Fermat: da margem à prova de Wiles
Todo mundo conhece o teorema de Pitágoras: $3^2+4^2=5^2$. Existem infinitos trios de inteiros assim, como $5,12,13$ e $8,15,17$.
E com cubos? Existem inteiros positivos com $a^3+b^3=c^3$? E com quartas potências?
A nota na margem
Por volta de 1637, lendo o problema de Diofanto sobre dividir um quadrado em dois quadrados, Fermat escreveu na margem do livro, em latim:
É impossível dividir um cubo em dois cubos, ou uma quarta potência em duas quartas potências, ou, em geral, qualquer potência maior que a segunda em duas potências de mesmo grau. Descobri uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disso, que esta margem é estreita demais para conter.
— Pierre de Fermat, por volta de 1637
Em linguagem de hoje: para $n>2$, não existem inteiros positivos $a$, $b$, $c$ com
$$a^n+b^n=c^n.$$A nota só veio a público em 1670, quando o filho de Fermat publicou o livro com as anotações do pai. A demonstração nunca foi encontrada. Todas as outras afirmações das margens foram provadas ou refutadas ao longo do tempo. Esta foi a última a resistir, e por isso ganhou o nome de último teorema.
358 anos de tentativas
O próprio Fermat provou o caso $n=4$, com a descida infinita. Depois vieram os outros, um a um:
- 1770: Euler prova o caso $n=3$.
- 1825: Dirichlet e Legendre provam o caso $n=5$.
- Década de 1820: Sophie Germain, que assinava as cartas com nome de homem para ser levada a sério, prova um resultado geral para uma família inteira de primos.
- 1839: Lamé prova o caso $n=7$.
- 1847: Ernst Kummer cria ideias novas e prova o teorema para todos os primos “regulares” até 100, menos três.
Mas ninguém conseguia uma prova para todos os expoentes.
Por que só primos importam
Podemos demonstrar uma parte do caminho aqui mesmo. Se houvesse uma solução para $n=6$, então
$$a^6+b^6=c^6\quad\Longrightarrow\quad(a^2)^3+(b^2)^3=(c^2)^3,$$e teríamos uma solução para $n=3$. Em geral, se $n$ tem um divisor primo ímpar $q$, uma solução para $n$ vira uma solução para $q$. Se $n$ não tem divisor primo ímpar, ele é uma potência de 2 maior que 2, e então é múltiplo de 4, e uma solução vira uma solução para $n=4$.
Conclusão: basta provar o teorema para $n=4$, o que Fermat fez, e para todos os primos ímpares. Essa redução é fácil; a parte difícil é justamente a dos infinitos primos.
Testar não basta
Com computadores, verificou-se que não há soluções para expoentes até milhões. Mas isso não é prova: o teorema fala de todos os inteiros, e nenhuma busca, por maior que seja, alcança todos eles. Na matemática, um milhão de exemplos não substituem uma demonstração.
O menino da biblioteca
Em 1963, um menino inglês de dez anos chamado Andrew Wiles encontrou o problema num livro da biblioteca pública de Cambridge. Ficou impressionado: um enunciado que ele entendia e que ninguém, em três séculos, tinha conseguido provar. Decidiu que um dia o resolveria.
Wiles virou matemático e, por anos, deixou o sonho de lado. Em 1986, Ken Ribet provou que o último teorema seria consequência de outra conjectura, sobre curvas elípticas e formas modulares, que Wiles conhecia muito bem. Ele largou tudo e trabalhou sete anos em segredo, no sótão de casa, sem contar a quase ninguém.
Em junho de 1993, numa série de palestras em Cambridge, anunciou a prova. A plateia aplaudiu de pé. Mas, na revisão, os especialistas encontraram uma falha. Wiles passou mais de um ano tentando consertá-la, com a ajuda do ex-aluno Richard Taylor, e quase desistiu. Em setembro de 1994, encontrou a saída. A prova completa, com mais de cem páginas, saiu em 1995.
Em 2016, Wiles recebeu o Prêmio Abel, um dos maiores da matemática.
Fermat tinha mesmo uma prova?
Quase certamente não. A demonstração de Wiles usa matemática do século XX que Fermat não podia conhecer. O mais provável é que Fermat tenha achado uma prova que só funcionava para alguns expoentes, talvez generalizando o caso $n=4$, e depois percebido o erro. Tanto que, em cartas posteriores, ele menciona os casos $n=3$ e $n=4$ como desafios, mas nunca mais fala do caso geral.
Exercício: uma solução com expoente 6 daria uma solução para qual expoente primo?
Como $6=2\cdot3$, escrevemos $(a^2)^3+(b^2)^3=(c^2)^3$, uma solução para o expoente primo 3.
Exercício: e uma solução com expoente 8?
8 não tem divisor primo ímpar. Como $8=4\cdot2$: $(a^2)^4+(b^2)^4=(c^2)^4$, uma solução para $n=4$, que Fermat provou ser impossível.
Fontes: biografia de Fermat, MacTutor · biografia de Andrew Wiles, MacTutor · Prêmio Abel de 2016.
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