Das quatro equações de Maxwell, três já eram conhecidas de alguma forma antes dele: a de Gauss, a do magnetismo e a de Faraday. A quarta, a de Ampère, também, mas estava incompleta. O que Maxwell acrescentou a ela foi um único termo, $\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$. Parece pouco. Foi esse termo que fez a eletricidade e o magnetismo virarem luz.

A lei de Ampère

Em 1826, o francês André-Marie Ampère encontrou a regra que liga uma corrente ao campo magnético em volta dela. Em linguagem de hoje: se você percorre um caminho fechado em volta de um fio e soma a componente do campo magnético ao longo do caminho, o resultado é proporcional à corrente $I$ que atravessa qualquer superfície apoiada nesse caminho:

$$\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I.$$

A palavra qualquer é importante. Pense no aro de uma rede de caçar borboletas: a rede pode ser curta ou comprida, mas o fio que atravessa o aro também atravessa a rede. A corrente que passa pela rede não depende do formato da rede.

O capacitor que quebra a regra

Agora ponha um capacitor no circuito: duas placas de metal paralelas, separadas por ar ou vácuo. Enquanto o capacitor carrega, uma corrente $I$ chega por um fio a uma placa, e outra sai da outra placa. Mas entre as placas não passa corrente nenhuma: não há fio, só vazio.

Tome um caminho circular em volta do fio, antes do capacitor. Se a rede for plana, cortando o fio, a corrente que a atravessa é $I$. Se a rede for comprida, como uma sacola que passa entre as placas sem tocar o fio, a corrente que a atravessa é zero. Mesmo caminho, mesma integral do campo magnético, duas respostas diferentes. A lei de Ampère não pode estar certa nesse caso.

O que muda entre as placas

Entre as placas não passa carga, mas alguma coisa muda: o campo elétrico. Enquanto a placa acumula carga $Q$, o campo entre as placas, de área $A$, cresce:

$$E=\frac{Q}{\varepsilon_0A}.$$

O fluxo do campo elétrico pela área das placas é $\Phi_E=EA=\frac Q{\varepsilon_0}$, e ele muda com a taxa

$$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I.$$

É exatamente a corrente que chega pelo fio! Maxwell propôs que um campo elétrico que varia age como uma corrente. Ele a chamou de corrente de deslocamento, $I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$, e a acrescentou à lei de Ampère:

$$\boxed{\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).}$$

Agora as duas redes concordam. Na rede plana, só há a corrente $I$ do fio. Na rede comprida, não há corrente, mas há o campo variando entre as placas, que contribui com a mesma quantidade.

Por que “deslocamento”?

O nome vem do modelo mecânico de 1861. Maxwell imaginava que, mesmo no vácuo, existia um meio, o éter, cujas partículas elétricas se deslocavam um pouco quando o campo mudava, como molas esticadas. Esse pequeno deslocamento seria uma corrente de verdade. O éter não existe, como mostrariam Michelson, Morley e Einstein, mas o termo sobreviveu ao modelo: a natureza obedece à equação, mesmo que a explicação mecânica estivesse errada.

A carga se conserva

Há outra razão pela qual o termo tem de estar lá. Na forma diferencial, a lei de Ampère sem a correção diz $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$. Mas a divergência de um rotacional é sempre zero, então ela obrigaria $\nabla\cdot\mathbf J=0$: a corrente nunca poderia se acumular em lugar nenhum, e nenhum capacitor poderia carregar. Com o termo de Maxwell,

$$0=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf E).$$

Pela lei de Gauss, $\nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}$, e sobra

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.$$

É a conservação da carga: a carga numa região só aumenta se entrar corrente nela. A correção de Maxwell é exatamente o que é preciso para as equações respeitarem esse princípio.

Exercício: um capacitor acumula 6 microcoulombs em 2 milissegundos. Qual é a corrente de deslocamento média entre as placas?

A corrente média no fio é $\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{6\times10^{-6}}{2\times10^{-3}}=3\times10^{-3}$ A, ou 3 mA. Entre as placas, a corrente de deslocamento média é a mesma, 3 mA, embora nenhum elétron atravesse o espaço entre elas.

Exercício: por que ninguém tinha notado a corrente de deslocamento antes de Maxwell?

Porque ela é muito pequena, salvo quando os campos mudam muito depressa. O termo vem multiplicado por $\varepsilon_0\approx8{,}85\times10^{-12}$. Num capacitor de placas de 10 cm por 10 cm, um campo que cresce 1 000 V/m por segundo produz $I_d=8{,}85\times10^{-12}\cdot1\,000\cdot0{,}01\approx9\times10^{-11}$ A, menos de um décimo de nanoampère. Só com oscilações de milhões de vezes por segundo, como nas experiências de Hertz em 1887, o efeito fica evidente.

Fontes: James Clerk Maxwell, “On physical lines of force”, Philosophical Magazine 21 e 23 (1861–1862) · Lições de Física de Feynman, volume II, capítulo 18 · Basil Mahon, The Man Who Changed Everything (Wiley, 2003), cap. 7.

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