Euler's Eyes
2026-10-11
Ângulos excêntricos
Quando o vértice do ângulo está dentro ou fora da circunferência, mas não no centro nem sobre ela, o ângulo é excêntrico — e sua medida é uma média de dois arcos.
Quem descobriu
As fórmulas dos ângulos excêntricos não estão enunciadas nos Elementos, mas saem diretamente da proposição III.20 de Euclides (ângulo inscrito) combinada com a I.32 (ângulo externo de um triângulo). Um dos problemas mais famosos ligados a elas tem autor: em 1471, o astrônomo alemão Regiomontanus perguntou de que distância uma estátua no alto de um pedestal é vista sob o maior ângulo possível.
A história
A resposta de Regiomontanus usa um ângulo excêntrico exterior. De qualquer ponto do chão, a estátua é vista sob um ângulo que é metade da diferença de dois arcos; o maior ângulo acontece quando a circunferência que passa pelo pé e pelo topo da estátua tangencia o chão. Foi um dos primeiros problemas de máximo da história, resolvido sem cálculo.
O mesmo raciocínio aparece no rúgbi: depois de um try, o chutador escolhe, ao longo de uma linha, o ponto de onde vê os postes sob o maior ângulo possível.
No dia a dia
- Museus. A melhor distância para ver um quadro pendurado acima dos olhos é a do problema de Regiomontanus.
- Rúgbi. A escolha do ponto da conversão segue o mesmo princípio.
- Cinema. Nas primeiras fileiras, a tela é vista sob um ângulo grande, mas muito inclinado; os ângulos excêntricos explicam por que o meio da sala é melhor.
- Fotografia. Para enquadrar um objeto alto, o fotógrafo procura o ponto em que ele ocupa o maior ângulo do campo de visão.
Fontes: Regiomontanus (MacTutor) · Elementos, proposição III.20 · Elementos, proposição I.32.
Teoria e construções
TeoremaÂngulos excêntricos interior e exterior
- Interior: se duas cordas se cortam num ponto interior, distinto do centro, o ângulo entre elas mede a semissoma dos arcos que ele e o seu oposto pelo vértice enxergam: $x = \dfrac{a + b}{2}$.
- Exterior: se de um ponto exterior partem duas semirretas secantes (ou tangentes, ou uma de cada), o ângulo entre elas mede a semidiferença dos arcos interceptados: $x = \dfrac{a - b}{2}$.
Justificativa. No caso interior, $x$ é ângulo externo de um triângulo cujos dois ângulos internos não adjacentes são inscritos, de medidas $\dfrac{a}{2}$ e $\dfrac{b}{2}$. No exterior, $\dfrac{a}{2}$ é ângulo externo de um triângulo com ângulos internos $x$ e $\dfrac{b}{2}$.
