Relações fundamentais, simplificação de expressões, redução ao primeiro quadrante e paridade (capítulos III e IV).
Teste 41PUC-75
O valor da expressão $25\operatorname{sen}^2 x - 9\operatorname{tg}^2 x$, sabendo que $\operatorname{cossec} x = \frac{5}{4}$ e que $x$ é do primeiro quadrante, é:
$\operatorname{sen} x = \frac{4}{5}$, $\cos x = \frac{3}{5}$ e $\operatorname{tg} x = \frac{4}{3}$: $25 \cdot \frac{16}{25} - 9 \cdot \frac{16}{9} = 16 - 16 = 0$.
Teste 42GV-76
Se $\operatorname{sen} a = \frac{24}{25}$ e $\sec a$ é negativa, então o valor de $\sqrt{\dfrac{1 - \cos a}{1 + \cos a}}$ é:
Secante negativa significa cosseno negativo: $\cos a = -\frac{7}{25}$. Então $\sqrt{\frac{1 + 7/25}{1 - 7/25}} = \sqrt{\frac{32}{18}} = \frac{4}{3}$.
Teste 43ITA-74
O valor da expressão $x = \dfrac{2\operatorname{tg}\theta}{1 - \operatorname{tg}^2\theta}$, quando $\cos\theta = -\frac{3}{7}$ e $\operatorname{tg}\theta < 0$, é:
Com $\cos\theta = -\frac{3}{7}$ e $\operatorname{tg}\theta < 0$, o seno é positivo: $\operatorname{sen}\theta = \frac{2\sqrt{10}}{7}$ e $\operatorname{tg}\theta = -\frac{2\sqrt{10}}{3}$. Então $x = \frac{-4\sqrt{10}/3}{1 - 40/9} = \frac{12\sqrt{10}}{31}$, que não aparece nas alternativas.
Teste 44CESCEA-70
Se $\operatorname{sen} x = \frac{n - 1}{n}$, então $\dfrac{\operatorname{tg}^2 x + 1}{\operatorname{cotg}^2 x + 1}$ é igual a:
Sabe-se que $\operatorname{sen} x = a \ne 0$ e $\cos x = b \ne 0$. Logo, $\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x$ é igual a:
$\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{1}{ab}$, pois $a^2 + b^2 = \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$.
Teste 46MACK-73
As raízes da equação $2x^2 - px - 1 = 0$ são $\operatorname{sen}\theta$ e $\cos\theta$, sendo $\theta$ um número real. O valor de $p$ é:
Soma das raízes: $\operatorname{sen}\theta + \cos\theta = \frac{p}{2}$; produto: $\operatorname{sen}\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$. Então $\frac{p^2}{4} = 1 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 0$, logo $p = 0$.
Teste 47ITA-71
Seja $x \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$. Qual afirmação abaixo é verdadeira?
Com $t = \operatorname{tg} x > 0$: $t + \frac{1}{t} \ge 2$, pois $t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^2}{t} \ge 0$ (igualdade só em $x = \frac{\pi}{4}$).
Teste 48CESCEA-72
Assinale a afirmação falsa:
$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\operatorname{sen}^2 2x$, que só vale 1 quando $\operatorname{sen} 2x = 0$; não é todo $\mathbb{R}$. As demais são verdadeiras: em (b), $3\operatorname{sen}^2 + 2\cos^2 = 2 + \operatorname{sen}^2 \le 3$; em (d), $\sec^2 x = \operatorname{tg}^2 x + 1$ sempre.
Teste 49CESCEM-70
Se $\theta \ne \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k$ inteiro, então $\dfrac{\cos^2\theta}{1 - \operatorname{sen}\theta}$ é igual a:
$\frac{\cos^2\theta}{1 - \operatorname{sen}\theta} = \frac{(1 - \operatorname{sen}\theta)(1 + \operatorname{sen}\theta)}{1 - \operatorname{sen}\theta} = 1 + \operatorname{sen}\theta$. (O enunciado impresso traz $\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, justamente os valores em que a expressão não existe; o sinal certo é $\ne$.)
Teste 50PUC-70
A expressão $\dfrac{\operatorname{cossec} x - \operatorname{sen} x}{\sec x - \cos x}$ é identicamente igual a:
As raízes da equação $x^2 - (2\operatorname{tg} a)x - 1 = 0$ são:
$x = \frac{2\operatorname{tg} a \pm \sqrt{4\operatorname{tg}^2 a + 4}}{2} = \operatorname{tg} a \pm \sqrt{\sec^2 a} = \operatorname{tg} a \pm \sec a$.
Teste 54ITA-73
Eliminando $\theta$ nas equações $x\operatorname{sen}\theta + y\cos\theta = 2a\operatorname{sen}\theta$ e $x\cos\theta - y\operatorname{sen}\theta = a\cos\theta$, com $a > 0$, temos:
Resolvendo o sistema em $x$ e $y$: $x = a(1 + \operatorname{sen}^2\theta)$ e $y = a\operatorname{sen}\theta\cos\theta$. Nenhuma das relações oferecidas vale para todo $\theta$: a alternativa (c), por exemplo, vale para $\theta = 0$ ($x = a$, $y = 0$), mas falha para $\theta = \frac{\pi}{2}$ ($x = 2a$, $y = 0$).
Teste 55MACK-76
O valor de $k$ para o qual $(\cos x + \operatorname{sen} x)^2 + k\operatorname{sen} x\cos x - 1 = 0$ é uma identidade é:
$(\cos x + \operatorname{sen} x)^2 = 1 + 2\operatorname{sen} x\cos x$; a expressão vale $(2 + k)\operatorname{sen} x\cos x$, que é identicamente nula só para $k = -2$.
Teste 56CESGRANRIO-76
Na figura, o raio $\overline{OA}$ do círculo vale 6, o segmento $\overline{OB}$ vale 3 e o segmento $\overline{CB}$ é perpendicular a $\overline{OA}$. A medida, em radianos, do ângulo $\theta = C\hat{O}B$ é:
No triângulo retângulo $OBC$, $OC = 6$ (raio) e $OB = 3$: $\cos\theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, logo $\theta = \frac{\pi}{3}$.
Teste 57CESCEA-75
Na figura, o círculo tem centro na origem e raio 1; a semirreta que forma $45^\circ$ com o eixo $X$ corta o círculo em $M$ e a reta tangente ao círculo no ponto $(1, 0)$ em $N$. O comprimento do segmento $\overline{MN}$ é:
$N$ está no eixo das tangentes, com $AN = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$; então $ON = \sqrt{2}$. Como $OM = 1$ (raio), $MN = \sqrt{2} - 1$.
Teste 58GV-74
A expressão $\sqrt{\cos\pi + \log_2 16 - e^{\operatorname{sen} 2\pi}}$ tem o mesmo valor numérico que:
Sabendo-se que $x + y = \frac{\pi}{3}$ e $x - y = \frac{\pi}{2}$, então $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y$ é igual a:
$\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y = 2\operatorname{sen}\frac{x + y}{2}\cos\frac{x - y}{2} = 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Teste 60CESCEM-75
O seno de um dos ângulos agudos de um losango é igual a $\frac{1}{2}$; portanto a tangente do maior ângulo interno é:
O ângulo agudo mede $30^\circ$ e o maior ângulo interno, $150^\circ$: $\operatorname{tg} 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Teste 61FAAP-75
Conhecida a fórmula $\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen}^2 2x + \operatorname{sen}^2 3x + \cdots + \operatorname{sen}^2 nx = \dfrac{n}{2} - \dfrac{\operatorname{sen}(nx)\cos[(n + 1)x]}{2\operatorname{sen} x}$, válida para todo $x \in \mathbb{R}$ tal que $\operatorname{sen} x \ne 0$, a soma $\operatorname{sen}^2\frac{\pi}{3} + \operatorname{sen}^2\frac{2\pi}{3} + \operatorname{sen}^2\frac{3\pi}{3} + \cdots + \operatorname{sen}^2\frac{9\pi}{3}$ vale:
Com $n = 9$ e $x = \frac{\pi}{3}$: $\operatorname{sen}(9x) = \operatorname{sen} 3\pi = 0$, e a soma vale $\frac{9}{2}$. (Conferindo: os senos ao quadrado valem $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{4}$, $0$, repetidos três vezes: $3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.)
Teste 62CESCEM-74
Dado o ângulo $\alpha = 1782^\circ$, então:
$1782^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 342^\circ$, e $342^\circ = 360^\circ - 18^\circ$ está no 4º quadrante: seno e tangente trocam de sinal, o cosseno não.
Teste 63FEI-66
Se $\cos x = \frac{3}{5}$, então $\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ é igual a:
$\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x = \frac{3}{5}$.
Teste 64MACK-76
Se $x = \frac{\pi}{5}$, o valor de $2\cos\pi\operatorname{sen}(\pi - x)\operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$ é igual a:
Numerador: $-\operatorname{sen} x - \cos x + \cos x + 3\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} x$. Denominador: $-\cos x - \cos x - \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x = -2\cos x$. Quociente: $-\operatorname{tg} x$.
Teste 66MACK-75
A soma dos 12 primeiros termos da sequência $\cos\alpha$, $\cos(\alpha + \pi)$, $\cos(\alpha + 2\pi)$, … é:
Os termos são $\cos\alpha, -\cos\alpha, \cos\alpha, -\cos\alpha, \ldots$; doze termos se cancelam aos pares.
Teste 67FFCLUSP-67
$\log\operatorname{tg} 1^\circ + \log\operatorname{tg} 2^\circ + \log\operatorname{tg} 3^\circ + \cdots + \log\operatorname{tg} 89^\circ$ é igual a:
A soma dos logaritmos é o logaritmo do produto $\operatorname{tg} 1^\circ \cdot \operatorname{tg} 2^\circ \cdots \operatorname{tg} 89^\circ$. Como $\operatorname{tg} k^\circ \cdot \operatorname{tg}(90^\circ - k^\circ) = 1$ e $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$, o produto é 1 e o logaritmo, 0.
Teste 68PUC-77
Qual das funções abaixo é função par?
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$. As outras quatro são ímpares.
Teste 69CESCEM-71
Dizemos que uma função real é par se $f(x) = f(-x)$ e que é ímpar se $f(x) = -f(-x)$. Das afirmativas que seguem, indique qual é a falsa:
Se $f$ e $g$ são ímpares, $(fg)(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x)$: o produto é par. As afirmações (b), (c) e (d) são verdadeiras.
Instruções para os testes 70 a 74 (CESCEA-71). Em cada um deles é dado o gráfico de uma função definida em $\mathbb{R}$. Considere as denominações: I — função ímpar; II — função não limitada; III — função periódica; IV — função par; V — função identidade.
Teste 70CESCEA-71
Qual alternativa descreve o gráfico abaixo?
O gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$ (função par) e cresce sem limite: II e IV. É a função $|x|$.
Teste 71CESCEA-71
Qual alternativa descreve o gráfico abaixo?
É a tangente: ímpar, não limitada e periódica (I, II e III).
Teste 72CESCEA-71
Qual alternativa descreve o gráfico abaixo?
É a reta $y = x$: a função identidade, que é ímpar e não limitada (I, II e V).
Teste 73CESCEA-71
Qual alternativa descreve o gráfico abaixo?
O gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$ (par) e desce sem limite perto de $x = 0$ (não limitada): II e IV.
Teste 74CESCEA-71
Qual alternativa descreve o gráfico abaixo?
É uma onda triangular: repete-se a cada 4 unidades (periódica) e é simétrica em relação ao eixo $y$ (par): III e IV.
