Pierre de Fermat acreditava que todos os números da forma $2^{2^n} + 1$ eram primos. Para $n = 0, 1, 2, 3, 4$ dá certo: 3, 5, 17, 257 e 65 537 são primos. O próximo é

$$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$

Testar todos os divisores à mão é impraticável. Em 1732, Euler mostrou que esse número é divisível por 641. Uma forma elegante de ver isso usa duas maneiras de escrever 641:

$$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$

Trabalhando com restos da divisão por 641 (o símbolo $\equiv$ significa “deixa o mesmo resto”):

A dedução em quatro passos (clique para avançar)

  1. Da primeira forma, $5 \cdot 2^7 \equiv -1$. Elevando à quarta potência: $5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$.
  2. Da segunda forma, $5^4 \equiv -2^4$.
  3. Substituindo o passo 2 no passo 1: $-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$, isto é, $-2^{32} \equiv 1$.
  4. Logo $2^{32} + 1 \equiv 0$: o número é múltiplo de 641.

De fato, 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417. Até hoje não se conhece nenhum outro número de Fermat primo além dos cinco primeiros.

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