O princípio hamiltoniano tornou-se a pedra angular da física moderna, aquilo com que um físico espera que todo fenômeno físico esteja em conformidade.

— Erwin Schrödinger (1943)

Hamilton acreditava que os quatérnios seriam a sua grande obra, a linguagem da física do futuro. Errou no detalhe e acertou no essencial. A física adotou os vetores de Gibbs e Heaviside, mas a mecânica de Hamilton, que ele considerava menos importante, tornou-se a base de quase tudo o que veio depois.

Na física

  • Mecânica quântica. Na equação de Schrödinger, a energia de um sistema é um operador, a hamiltoniana $\hat H$. Calcular os níveis de energia de um átomo é encontrar os autovalores da sua hamiltoniana.
  • Mecânica estatística e caos. O espaço de fase de Hamilton, onde cada estado é um ponto, é o palco da termodinâmica estatística e da teoria do caos. O teorema de Liouville, de que o volume no espaço de fase se conserva, é uma consequência direta das equações de Hamilton.
  • Óptica. A função característica continua a ser usada no projeto de sistemas ópticos, e a refração cônica voltou a ser estudada no século XXI, com lasers.

Na matemática e na computação

  • Álgebra. Ao abrir mão da comutatividade, Hamilton abriu a porta para as álgebras abstratas: matrizes, octônios, álgebras de Lie, álgebras de Clifford. A ideia de que se pode inventar uma álgebra com as regras que um problema pede é, em boa parte, dele.
  • Gráficos e navegação. Os quatérnios giram personagens de videogame, câmeras de cinema, braços de robôs, telescópios espaciais e o celular no seu bolso.
  • Grafos. O ciclo hamiltoniano é um dos problemas centrais da teoria da complexidade.

Em Dublin

O selo de meio pêni emitido pela Irlanda em novembro de 1943, no centenário dos quatérnios.
O selo de meio pêni emitido pela Irlanda em novembro de 1943, no centenário dos quatérnios.Correios da Irlanda · Wikimedia Commons · domínio público

Em 1943, no centenário da ponte, a Irlanda emitiu dois selos com o rosto de Hamilton, e o primeiro-ministro Éamon de Valera, que tinha sido professor de matemática, promoveu as comemorações. Schrödinger, que vivia então em Dublin, no Instituto de Estudos Avançados criado por De Valera, deu palestras sobre a obra de Hamilton. Em 1958 foi colocada na ponte Broom a placa que substitui a inscrição perdida. E desde 1990, todo 16 de outubro, matemáticos fazem a caminhada de Hamilton, do Observatório de Dunsink até a ponte, refazendo o percurso de 1843. Já caminharam ali físicos ganhadores do Nobel, como Murray Gell-Mann e Steven Weinberg, e o matemático Andrew Wiles.

Sir William Rowan Hamilton numa gravura de J. Kirkwood, a partir de um desenho de C. Grey.
Sir William Rowan Hamilton numa gravura de J. Kirkwood, a partir de um desenho de C. Grey.Wellcome Collection · Wikimedia Commons · CC BY 4.0

O que dizer dele

Hamilton foi um prodígio que não se apagou: aos 21 anos já tinha uma teoria original, e aos 38 encontrou a sua maior descoberta numa caminhada. Foi também um homem de vida pessoal difícil, que bebia demais e trabalhava em meio à desordem. Mas a lição que deixou é a de uma liberdade: as regras da aritmética não são sagradas. Quando um problema pede uma álgebra nova, pode-se inventá-la, desde que seja coerente. Foi com essa liberdade que a matemática do século XX construiu as suas estruturas.

Exercício: quatérnio ou matriz?

Uma rotação pode ser guardada como uma matriz $3 \times 3$ ou como um quatérnio unitário. Quantas multiplicações de números são necessárias para compor duas rotações em cada caso?

No produto de duas matrizes $3 \times 3$, cada uma das 9 entradas é uma soma de 3 produtos: $27$ multiplicações. No produto de dois quatérnios, cada uma das 4 partes é uma soma de 4 produtos: $16$ multiplicações. Além disso, o quatérnio guarda 4 números em vez de 9, e é fácil corrigir os erros de arredondamento: basta dividi-lo pelo seu tamanho.

Exercício: a lei dos módulos em ação

Multiplique $p = 1 + i + j$ por $q = 1 + 2i$ e verifique que $\lvert pq \rvert^2 = \lvert p \rvert^2 \lvert q \rvert^2$.

$pq = 1 + 2i + i + 2i^2 + j + 2ji = 1 + 3i - 2 + j - 2k = -1 + 3i + j - 2k$. Então $\lvert pq \rvert^2 = 1 + 9 + 1 + 4 = 15$, e $\lvert p \rvert^2 \lvert q \rvert^2 = 3 \times 5 = 15$. O $15$, que não é soma de três quadrados, aparece aqui como soma de quatro: é o motivo pelo qual Hamilton precisou da quarta dimensão.

Fontes: Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton (1980) · Erwin Schrödinger, “The Hamilton Postage Stamp: An Announcement” (1943), em A Collection of Papers in Memory of Sir William Rowan Hamilton (1945) · a caminhada de Hamilton, Universidade de Maynooth · biografia de Hamilton, MacTutor.

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