Material oficial: prova completa · soluções da OBMEP · acervo do ano.

As resoluções abaixo seguem a numeração do caderno oficial. Abra a prova para acompanhar os enunciados, as alternativas e os diagramas; as explicações aqui são autorais. Tente cada questão antes de consultar a resposta.

Gabarito

Questões Respostas
1–5 C · A · D · B · C
6–10 E · C · A · B · C
11–15 D · A · A · B · E
16–20 B · D · E · B · E

Questão 1 — Latas que sustentam outras latas

Parta da lata azul e marque as duas que dependem dela. Repita a marcação nas camadas seguintes: duas latas, depois duas e, finalmente, a lata do topo. Essas dependências precisam ser retiradas de cima para baixo; retirar latas de fora desse conjunto não ajuda a liberar a azul. São $2+2+2+1=7$ latas antes dela. Alternativa C.

Questão 2 — Comparação de compras

José paga $80+65=145$ reais; Luiz paga $90+60=150$ reais. Subtraia os totais, e não somente os preços de uma das peças: $150-145=5$. Luiz gasta R$ 5,00 a mais — A.

Questão 3 — Um único colar

Um colar fechado deve formar um só circuito. Em cada alternativa, comece numa ponta da parte visível e siga o fio, inclusive nos cruzamentos, até voltar ao início. Se restar outro circuito separado, a figura representa dois colares. Somente a composição D fecha um circuito que percorre todo o fio; cruzar dois trechos não significa uni-los.

Questão 4 — Ordem dos cartões

Resolva de trás para frente. E encobre os demais e foi o último. Tirando E, A está sobre B, então A foi o quarto. B está sobre C e D, que ocupam as duas primeiras posições, em alguma ordem. Logo B foi o terceiro cartão, correspondente à alternativa B.

Questão 5 — Identificação dos carimbos

Compare somente os trechos que ficam fora da faixa, pois o interior está oculto. Na primeira linha, o contorno visível seleciona 1B. Na segunda, as pontas superior e inferior selecionam 2B. Na terceira, o carimbo precisa esconder uma de suas saliências dentro da faixa, deixando as demais nas posições indicadas: 3C. O conjunto é 1B, 2B e 3C — C.

Questão 6 — Frações e decimais

Escreva todas as alternativas como decimais e alinhe as casas:

$$0{,}060<0{,}160<0{,}166<0{,}166666\ldots<0{,}600.$$

O terceiro valor é $0{,}166$ — E. A dízima $1/6$ é um pouco maior, pois continua com algarismos 6 depois da terceira casa.

Questão 7 — Área colorida

Divida o retângulo em quatro faixas de mesma área. A faixa amarela inferior ocupa $1/4$ do total. Nas faixas superiores, as partes triangulares amarelas podem ser reunidas numa região de área igual a outra faixa. Assim, a fração amarela é $1/4+1/4=\boxed{1/2}$. Alternativa C. A inclinação de um lado não muda a fórmula base vezes altura dividida por 2.

Questão 8 — Divisão das despesas

Pedro gastou $4\cdot5{,}50+5\cdot2{,}20=33$ reais. Paulo gastou $1{,}4\cdot5=7$ reais. Cada um deve arcar com $(33+7)/2=20$ reais, portanto Paulo deve transferir $20-7=13$ reais a Pedro. A expressão é $(33-7)/2$, a alternativa A. Transferir os 26 reais de diferença apenas trocaria os gastos de lugar.

Questão 9 — Cobertura por peças

Meça a área em quadradinhos: as oito peças quadradas somam 8, e os nove triângulos somam $9/2$. A área total é $12{,}5$. Isso elimina o tabuleiro de área diferente. Também é necessário acomodar oito quadrados inteiros: A, C e D só comportam sete na divisão indicada. O tabuleiro B atende à área e permite encaixar os oito quadrados e os nove meios quadrados. Alternativa B.

Questão 10 — Coleções de figurinhas

Tomando a coleção de Benedito como unidade, as quantidades são $1$, $4/5=0{,}80$ e $3/4=0{,}75$. Logo $1>0{,}80>0{,}75$: Benedito tem mais e Carlos tem menos — C.

Questão 11 — Complemento de uma peça

A borda recortada precisa encaixar sem lacunas nem sobreposição. Observe a saliência em dois degraus e compare o recorte complementar nas opções, permitindo girar a peça. Em A, B, C e E, sobra um degrau ou uma cavidade incompatível. A peça D completa o contorno externo retangular e preenche exatamente o recorte interno. Alternativa D.

Questão 12 — Domingos pares

Domingos sucessivos diferem por 7, logo suas datas alternam entre par e ímpar. Três domingos pares exigem cinco domingos, começando por uma data par. O primeiro só pode ser dia 2: as datas são 2, 9, 16, 23 e 30. Portanto o dia 9 é domingo e o dia 10 é segunda-feira — A.

Questão 13 — Pizzas e divisibilidade

Se $k$ das cinco pizzas têm oito fatias, as demais têm seis. O total é $8k+6(5-k)=30+2k$, com $0\le k\le5$. Entre 30, 32, 34, 36, 38 e 40, apenas 36 é divisível por 9. Cada amigo recebeu $36/9=4$ fatias — A. Isso não exige que as fatias tenham o mesmo tamanho.

Questão 14 — Número de aniversariantes

Os cinco meses já especificados somam $2\cdot6+3\cdot2=18$ alunos. Nos outros sete meses, cada quantidade está entre 3 e 5, pois não pode haver mais meses com 2 ou 6. Portanto,

$$18+7\cdot3\le N\le18+7\cdot5\quad\Rightarrow\quad39\le N\le53.$$

Das opções, só 45 está nesse intervalo. É realizável: nos sete meses restantes, seis grupos de 4 e um de 3 somam 27. Resposta: 45 — B.

Questão 15 — Faces escondidas dos cubos

Um cubo com alguma face branca visível não pode ser inteiramente azul. Conte os cubos nessa situação uma única vez, mesmo quando exibem duas faces brancas: são nove. Dos 14 cubos, restam $14-9=5$ que podem ter todas as faces azuis. A figura não obriga a pintar de branco nenhuma face escondida deles. Alternativa E.

Questão 16 — Fração de uma fração

A população com bicicleta corresponde a $1/4$ do total. Dentro desse grupo, $2/3$ têm somente uma. Logo a parcela procurada é

$$\frac14\cdot\frac23=\boxed{\frac16}.$$

Alternativa B. Somar as frações misturaria dois grupos de referência diferentes.

Questão 17 — Leitura do ponteiro das horas

O ponteiro das horas percorre cinco divisões em 60 minutos; cada divisão representa 12 minutos. A saída foi às 6h24, e a volta, às 14h12. Para subtrair, escreva 14h12 como 13h72:

$$13\text{h}72-6\text{h}24=\boxed{7\text{h}48}.$$

Alternativa D. As marcas do mostrador não representam minutos quando estamos lendo o ponteiro das horas.

Questão 18 — Comprimento do percurso

Separe segmentos horizontais e verticais. Os verticais somam duas alturas de 8 cm: 16 cm. Nos horizontais, uma reentrância de tamanho $d$ diminui um trecho e aumenta outro; a soma é $5+(5-d)+8+8+d=26$ cm. Portanto o comprimento total é $16+26=42$ cm — E.

Questão 19 — A criança que mente

A criança de 8 anos é a única mentirosa. Se ela dissesse que não tem 7 ou que não tem 9, estaria dizendo a verdade. Portanto é necessariamente quem afirma não ter 8. Das duas restantes, quem diz não ter 9 tem 7; quem diz não ter 7 tem 9. Assim se identificam a mais nova e a mais velha na figura. Alternativa B.

Questão 20 — Contagem de caminhos

Separe os caminhos pelo ponto obrigatório da linha intermediária que eles atravessam. Pelos dois pontos extremos, existe um caminho para cada um. Por cada ponto interno, há seis maneiras de chegar e seis de continuar, totalizando $6\cdot6=36$. As classes são disjuntas, portanto

$$1+36+36+1=\boxed{74}.$$

Alternativa E. Multiplicamos escolhas sucessivas e somamos os casos alternativos.

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