Enrole um barbante em volta de uma lata e depois estique-o sobre o diâmetro: ele cabe pouco mais de três vezes. Isso vale para qualquer lata, roda ou moeda. Esse “pouco mais de três” é o número π.

Quem descobriu

Que o contorno de um círculo é um pouco maior que três diâmetros já era sabido pelos babilônios e egípcios há quase 4 000 anos; eles usavam valores como 3, $3\tfrac{1}{8}$ e 3,16. Quem primeiro calculou π com garantia foi Arquimedes de Siracusa (século III a.C.): usando polígonos de 96 lados, ele provou que π está entre $3\tfrac{10}{71}$ e $3\tfrac{1}{7}$. O símbolo π foi usado pelo galês William Jones em 1706 e popularizado por Leonhard Euler.

A história

Arquimedes cercou a circunferência por dois polígonos, um dentro e outro fora, e dobrou o número de lados quatro vezes: 6, 12, 24, 48 e 96. Os perímetros dos polígonos se aproximam do contorno por baixo e por cima.

No século V, o chinês Zu Chongzhi chegou a 3,1415926 < π < 3,1415927, recorde que durou quase mil anos. Hoje se conhecem trilhões de casas decimais de π, calculadas por computador — mas para quase tudo na engenharia, 3,14159 basta.

No dia a dia

  • Rodas e hodômetro. A cada volta, uma roda anda o seu comprimento $C = 2\pi r$; o painel do carro conta as voltas.
  • Bicicleta. Uma roda aro 29 tem cerca de 74 cm de diâmetro com o pneu: anda cerca de 2,3 m por volta.
  • Pistas de atletismo. As raias de fora começam mais à frente porque a curva delas é mais longa.
  • Fita métrica de costureira. Medir a cintura é medir uma “circunferência”.

A fórmula

Escolha o raio e role a roda uma volta. O trecho vermelho desenrolado é a circunferência; as marcas amarelas são diâmetros.

TeoremaComprimento da circunferência

A razão entre o comprimento $C$ de qualquer circunferência e o seu diâmetro $d$ é sempre o mesmo número, $\pi \approx 3{,}14159$. Assim,

$$C = \pi \cdot d = 2\pi r.$$

PropriedadeComprimento de um arco

Um arco de $\alpha$ graus é a fração $\tfrac{\alpha}{360}$ da circunferência:

$$\ell = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r.$$

A demonstração de que a razão $C/d$ é a mesma para todas as circunferências usa semelhança de polígonos e está no capítulo de comprimento da circunferência do Ensino Médio.

Exercícios

1

Calcule o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm (use $\pi \approx 3{,}14$).

Ver resposta

$C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8\ \text{cm}$

2

O contorno de uma mesa redonda mede 157 cm. Qual é o diâmetro da mesa?

Ver resposta

$d = \dfrac{C}{\pi} = \dfrac{157}{3{,}14} = 50\ \text{cm}$

3

Uma roda de 70 cm de diâmetro percorre 1 km. Quantas voltas, aproximadamente, ela dá?

Ver resposta

Cada volta: $C = 3{,}14 \cdot 0{,}7 \approx 2{,}2\ \text{m}$. Voltas: $1\,000 \div 2{,}2 \approx 455$.

4

Qual é o comprimento de um arco de 90° numa circunferência de raio 12 cm?

Ver resposta

$\ell = \dfrac{90}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 12 = 18{,}84\ \text{cm}$

Verdadeiro ou falso?

  1. O contorno de qualquer circunferência mede pouco mais de 3 diâmetros.
  2. π é exatamente 3,14.
  3. Dobrando o raio, o comprimento da circunferência dobra.
  4. Um arco de 180° mede 2πr.

Fontes: Arquimedes (MacTutor) · Zu Chongzhi (MacTutor) · História de π (MacTutor).