As séries divergentes são uma invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração.

— Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (janeiro de 1826)

Em 1665, o jovem Newton descobriu que a fórmula do binômio valia também para expoentes que não são inteiros:

$$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$

Para $m$ inteiro positivo, a soma para depois de $m+1$ termos. Para $m=\frac12$ ou $m=-1$, ela nunca para: é uma série, uma soma com infinitos termos. Newton, Euler e todos os matemáticos do século XVIII usaram essa série com enorme sucesso. Quase ninguém perguntou quando ela funciona.

Abel conheceu essa série ainda na escola. Aos 16 anos, percebeu que a prova que Euler tinha dado da fórmula do binômio só valia para expoentes racionais e tentou estendê-la a todos os números. Oito anos depois, em Berlim, voltou ao assunto com muito mais rigor.

Quando a série engana

Tome $m=-1$. A série dá

$$\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$$

Com $x=\frac12$, a esquerda vale $\frac23$, e a direita, $1-0{,}5+0{,}25-0{,}125+\cdots$, de fato se aproxima de $0{,}666\ldots$ Mas com $x=1$ a direita vira $1-1+1-1+\cdots$, que fica pulando entre $1$ e $0$ sem se decidir, enquanto a esquerda vale $\frac12$. Euler aceitava que a soma “era” $\frac12$. E com $x=2$ fica pior: a esquerda vale $\frac13$, e a direita, $1-2+4-8+16-\cdots$, cresce sem limite.

Uma série cujas somas parciais não se aproximam de nenhum número se chama divergente. Os matemáticos do século XVIII manipulavam essas séries com liberdade e, às vezes, chegavam a resultados absurdos. Na França, Cauchy começou em 1821 a pôr ordem na casa, com o seu Curso de análise. Abel leu Cauchy em Paris e foi além.

A prova de Abel

No artigo de 1826 no Jornal de Crelle, Abel estudou a série binomial com todo o rigor, para qualquer expoente $m$, mesmo complexo, e para qualquer $x$. Provou que ela converge para $(1+x)^m$ quando $|x|<1$, e descreveu com precisão o que acontece quando $|x|=1$, a borda. Foi a primeira vez que alguém fez isso para a série de Newton.

Dentro do intervalo, a série funciona muito bem. Com $m=\frac12$, os coeficientes são $1,\ \frac12,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ -\frac5{128},\dots$, e

$$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$

Para $\sqrt{1{,}2}$, com $x=0{,}2$:

$$1+0{,}1-0{,}005+0{,}0005-0{,}0000625\approx1{,}0954.$$

O valor certo é $1{,}09545\ldots$: cinco termos já dão quatro casas certas.

O teorema de Abel

No mesmo artigo está um resultado que hoje leva o seu nome. Suponha que uma série de potências $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ convirja em $x=1$. Então o valor da série em $x=1$ é o limite dos valores quando $x$ se aproxima de $1$ por baixo:

$$\boxed{\lim_{x\to1^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_n.}$$

Parece óbvio, mas não é: é exatamente o tipo de passagem ao limite que os antigos faziam sem pensar e que às vezes dava errado. Com o teorema, ela fica garantida. Um exemplo: para $|x|<1$,

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots$$

Em $x=1$ a série converge, porque os termos alternam de sinal e diminuem. Pelo teorema de Abel, o seu valor é $\ln2$:

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2\approx0{,}6931.$$
Exercício: use quatro termos da série de √(1 + x) para calcular √0,81.

Com $x=-0{,}19$: $1-0{,}095-0{,}0045125-0{,}0004287\approx0{,}90006$. O valor exato é $0{,}9$. O quinto termo, $-\frac{5x^4}{128}\approx-0{,}00005$, deixa o resultado em $0{,}90001$.

Exercício: por que a série 1 − x + x² − x³ + … não pode convergir em x = 2?

Os termos são $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\dots$ e crescem sem limite. Uma série só pode convergir se os seus termos se aproximam de zero, porque cada soma parcial difere da anterior exatamente pelo último termo. Aqui as somas parciais são $1,\ -1,\ 3,\ -5,\ 11,\dots$ e se afastam cada vez mais. A fórmula $\frac1{1+x}$ continua valendo $\frac13$ em $x=2$; quem deixa de valer é a série.

Fontes: Niels Henrik Abel, “Untersuchungen über die Reihe $1+\frac m1x+\frac{m(m-1)}{1\cdot2}x^2+\cdots$”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1 (1826) · Øystein Ore, Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary (1957) · biografia de Abel, MacTutor.

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