Resolver um triângulo qualquer significa calcular os seus elementos principais: $a$, $b$, $c$, $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$. Para isso é necessário que sejam dadas três informações sobre o triângulo, sendo pelo menos uma delas a medida de um segmento ligado a ele (lado, altura, mediana etc.).

A história

O primeiro tratado europeu dedicado inteiramente a resolver triângulos, planos e esféricos, foi o De triangulis omnimodis (“Sobre triângulos de todos os tipos”), escrito por volta de 1464 pelo astrônomo alemão Regiomontanus e publicado só em 1533. Ele organizou os casos de resolução de modo muito parecido com o que faremos aqui, e o livro foi a porta de entrada da trigonometria na Europa do Renascimento.

Regiomontanus (1436–1476), em gravura posterior.
Regiomontanus (1436–1476), em gravura posterior.Gravador não identificado; coleção Smithsonian · Wikimedia Commons · Domínio público
  1. Nasce Johannes Müller, que latinizará o nome da cidade (“monte do rei”) em Regiomontanus.
  2. Entra na universidade aos 11 anos.
  3. Aluno e colaborador de Georg Peurbach. Com a morte do mestre, assume a tarefa de resumir o Almagesto.
  4. Na casa do cardeal Bessarion, lê manuscritos gregos e escreve o De triangulis omnimodis (c. 1464).
  5. Trabalha na corte do rei Matias Corvino, da Hungria, e calcula tábuas trigonométricas.
  6. Monta uma gráfica para livros científicos e imprime as Efemérides, que Colombo levaria nas suas viagens.
  7. Chamado pelo papa para ajudar na reforma do calendário, morre na cidade, aos 40 anos.
As andanças de Regiomontanus pela Europa do século XV. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

Fontes: Regiomontanus (MacTutor).

No dia a dia

  • O outro lado do rio. Um topógrafo mede uma base de 100 m numa margem e os ângulos até uma árvore na outra margem; com um lado e dois ângulos, resolve o triângulo e acha a largura do rio.
  • Vento e aviões. A velocidade de um avião em relação ao solo é o terceiro lado de um triângulo formado pela velocidade no ar e pela do vento; a lei dos cossenos dá o valor e a lei dos senos, o desvio da rota.
  • Dados que não bastam. O caso ambíguo explica por que, em perícias de acidentes e em navegação, dois lados e um ângulo não compreendido podem corresponder a duas situações diferentes, e é preciso mais uma informação.
A largura de um rio com uma base e dois ângulos: um lado e dois ângulos determinam o triângulo.

Teoria

Há quatro problemas clássicos de resolução de triângulos quaisquer.

Exemplo1º problema — dados um lado (a) e dois ângulos (B e C)

$$\hat{A} = 180^\circ - (\hat{B} + \hat{C})$$$$b = \frac{a\operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$$$c = \frac{a\operatorname{sen}\hat{C}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$

Há solução se, e somente se, $\hat{B} + \hat{C} < 180^\circ$.

Exemplo2º problema — dados dois lados (b e c) e o ângulo entre eles (A)

$$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}}$$$$\cos\hat{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$$$\cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

A solução existe sempre e é única.

Exemplo3º problema — dados os três lados (a, b, c)

$$\cos\hat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$$$\cos\hat{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$$$\cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

O problema só tem solução se esses cossenos ficarem no intervalo $]-1, 1[$, isto é, se valer a desigualdade triangular: $a < b + c$, $b < a + c$ e $c < a + b$.

Exemplo4º problema — dados dois lados (a e b) e o ângulo oposto a um deles (A)

$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{a}$$$$\hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B})$$$$c = \frac{a\operatorname{sen}\hat{C}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$

É o caso ambíguo: pode haver nenhuma, uma ou duas soluções. A discussão vem a seguir.

Discussão do 4º problema

Os dados fixam o ângulo $\hat{A}$ e o lado $b = AC$. O vértice $B$ está na reta horizontal e a distância $a$ de $C$: é onde a circunferência tracejada corta a reta. Mude $a$ e veja surgir zero, um ou dois triângulos.

1º caso: $b\operatorname{sen}\hat{A} > a$. Então $\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{a} > 1$: não há solução (a circunferência de raio $a$ não alcança a reta).

2º caso: $b\operatorname{sen}\hat{A} = a$. Então $\operatorname{sen}\hat{B} = 1$ e $\hat{B} = 90^\circ$. Há solução (única, um triângulo retângulo) somente se $\hat{A} < 90^\circ$; caso contrário, $\hat{A} + \hat{B} \ge 180^\circ$.

3º caso: $b\operatorname{sen}\hat{A} < a$. Então $\operatorname{sen}\hat{B} < 1$ e existem dois ângulos suplementares que satisfazem a relação: $\hat{B}_1$, com $0^\circ < \hat{B}_1 < 90^\circ$, e $\hat{B}_2 = 180^\circ - \hat{B}_1$, com $90^\circ < \hat{B}_2 < 180^\circ$. Qual deles serve depende de $\hat{A}$:

  • $\hat{A} = 90^\circ$: só $\hat{B}_1$ é solução, pois $\hat{A} + \hat{B}_2 > 180^\circ$ (e é preciso $a > b$).
  • $\hat{A} < 90^\circ$: $\hat{B}_1$ é sempre solução, mas $\hat{B}_2$ só é solução se $a < b$, uma vez que $\hat{B}_2 > \hat{A} \iff b > a$ (ao maior ângulo opõe-se o maior lado). Assim, se $b\operatorname{sen}\hat{A} < a < b$, há dois triângulos; se $a \ge b$, um só.
  • $\hat{A} > 90^\circ$: $\hat{B}_2$ não é solução, pois $\hat{A} + \hat{B}_2 > 180^\circ$; quanto a $\hat{B}_1$, só é solução se $a > b$, uma vez que $\hat{B}_1 < \hat{A} \iff b < a$.

ResumoQuadro-resumo do caso ambíguo

$a < b\operatorname{sen}\hat{A}$ $a = b\operatorname{sen}\hat{A}$ $b\operatorname{sen}\hat{A} < a < b$ $a \ge b$
$\hat{A}$ agudo nenhuma uma (retângulo) duas uma
$\hat{A}$ reto ou obtuso nenhuma nenhuma nenhuma uma (se $a > b$)

ExemploDuas soluções

Dados $a = 1$, $b = \sqrt{3} + 1$ e $\hat{A} = 15^\circ$ (exercício 378): $b\operatorname{sen}\hat{A} = (\sqrt{3} + 1)\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 = a < b$. Há dois triângulos: $\hat{B} = 45^\circ$, $\hat{C} = 120^\circ$, ou $\hat{B} = 135^\circ$, $\hat{C} = 30^\circ$.

Os exercícios desta seção são os de números 411 a 419 da lista do capítulo.