Fonte: FUVEST 2021, 2ª fase, 2º dia (prova de Matemática), questões M01 a M05. Prova oficial disponível no acervo da FUVEST. A FUVEST não publica gabarito da 2ª fase; as resoluções abaixo são nossas.

Questão 1: Vigilância no Estacionamento

Um estacionamento retangular possui dimensões de 40 m por 100 m, onde foram instaladas câmeras de segurança que cobrem áreas específicas. O problema envolve calcular áreas e porcentagens.

O proprietário instalou 4 câmeras de segurança distribuídas conforme a figura. As câmeras cobrem as seguintes regiões:

  • Região I: área coberta pela câmera A.
  • Região II: áreas cobertas pelas câmeras B e C.
  • Região III: área coberta pela câmera D.

a) Determine a área da região I.

A região I é um triângulo retângulo com hipotenusa de 50 m (o segmento indicado na figura) e cateto de 40 m (a largura do estacionamento). É um triângulo do tipo 3, 4, 5 (30, 40, 50), então o outro cateto mede 30 m.

A região I é um triângulo com base de 30 m e altura de 40 m. A fórmula da área do triângulo é:

$$ A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} $$

Substituindo os valores:

$$ A_\text{I} = \frac{30 \cdot 40}{2} = 600 \text{m}^2 $$

A região III também é um triângulo, com base de 30 m e altura de 40 m. Usamos a mesma fórmula:

$$A_\text{III} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$$

Substituindo os valores:

$$A_\text{III} = \frac{30 \cdot 40}{2} = 600 \text{m}^2$$

b) Determine a área da região II.

A região II é a parte central do estacionamento que não está coberta pelas regiões I e III. Podemos calculá-la de forma indireta:

$$ A_\text{II} = A_\text{total} - (A_\text{trapézio I} + A_\text{trapézio III}) $$

A área total do estacionamento é:

$$ A_\text{total} = 100 \cdot 40 = 4000 \text{m}^2 $$

Substituímos os valores:

$$ A_\text{II} = 4000 - \left(\frac{(5+30)\times 40}{2} + \frac{(10+30)\times 40}{2}\right) = 4000 - (700+800) = 2500 \text{m}^2 $$

c) Qual é a porcentagem da área do estacionamento que não é vigiada por câmera alguma?

A área não vigiada é a diferença entre a área total e a soma das áreas cobertas pelas câmeras ($A_\text{I} + A_\text{II} + A_\text{III}$):

$$ A_\text{não} = (A_\text{triângulo não I} + A_\text{triângulo não III}) = \frac{5\times 40}{2} + \frac{10\times 40}{2}= 300 \text{m}^2 $$

A porcentagem da área não vigiada em relação à área total é:

$$ \text{Porcentagem não vigiada} = \frac{A_\text{não}}{A_\text{total}} \cdot 100 $$

Substituímos os valores:

$$ \text{Porcentagem não vigiada} = \frac{300}{4000} \cdot 100 = 7,5\% $$

Questão 2:

São dados os pontos no plano cartesiano $ P_1 = (3, 3) $, $ P_2 = (5, 1) $, $ P_3 = (3, -1) $ e $ P_4 = (-2, 5) $. Resolver:

  1. Determine a equação da reta que passa por $ P_3 $ e é paralela à reta que passa por $ P_1 $ e $ P_4 $.
  2. Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos $ P_1 $, $ P_2 $ e $ P_3 $.
  3. Sendo $ \mathcal{C} $ a circunferência do item (2) e $ Q $ o ponto de intersecção de $ \mathcal{C} $ com o eixo $ x $, que está mais próximo da origem, determine a equação da reta tangente a $ \mathcal{C} $ em $ Q $.

(a) Equação da reta que passa por $ P_3 $ e é paralela à reta que passa por $ P_1 $ e $ P_4 $

  1. A inclinação ($ m $) da reta que passa por $ P_1(3, 3) $ e $ P_4(-2, 5) $ é:

    $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{-2 - 3} = -\frac{2}{5} $$

  2. A equação da reta que passa por $ P_3(3, -1) $ e tem $ m = -\frac{2}{5} $ é dada por:

    $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$

    Substituindo $ x_0 = 3 $, $ y_0 = -1 $, e $ m = -\frac{2}{5} $:

    $$ y - (-1) = -\frac{2}{5}(x - 3) $$

    $$ y + 1 = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5} $$

    $$ y = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5} - 1 = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{5} $$

    Conferindo: para $ x = 3 $, $ y = -\frac{6}{5} + \frac{1}{5} = -1 $, que é o ponto $ P_3 $.

Resposta: $ y = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{5} $, ou seja, $ 2x + 5y - 1 = 0 $

(b) Equação da circunferência que passa por $ P_1(3, 3) $, $ P_2(5, 1) $, $ P_3(3, -1) $

A equação geral da circunferência é:

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

  1. Substituímos as coordenadas dos pontos para formar um sistema de equações:

    • Para $ P_1(3, 3) $:

      $$ 9 + 9 + 3D + 3E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 18 + 3D + 3E + F = 0 \quad (1) $$

    • Para $ P_2(5, 1) $:

      $$ 25 + 1 + 5D + E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 26 + 5D + E + F = 0 \quad (2) $$

    • Para $ P_3(3, -1) $:

      $$ 9 + 1 + 3D - E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 10 + 3D - E + F = 0 \quad (3) $$

  2. Resolvemos o sistema:

    • Subtraindo (1) de (2):

      $$ 8 + 2D - 2E = 0 \quad \Rightarrow \quad D - E = -4 \quad (4) $$

    • Subtraindo (1) de (3):

      $$ -8 - 4E = 0 \quad \Rightarrow \quad E = -2 \quad (5) $$

    • Substituímos $ E = -2 $ em (4):

      $$ D + 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad D = -6 $$

    • Substituímos $ D = -6 $ e $ E = -2 $ em (1):

      $$ 18 - 18 - 6 + F = 0 \quad \Rightarrow \quad F = 6 $$

  3. A equação da circunferência é:

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$$

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 {\color{red}{+4}}= 0 {\color{red}{+4}}$$

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9+1= 4$$

    $$(x-3)^2 + (y-1)^2= 4$$

Resposta: $ (x-3)^2 + (y-1)^2= 4 $

(c) Equação da reta tangente à circunferência no ponto mais próximo da origem

  1. Intersecção da circunferência com o eixo $ x $: Substituímos $ y = 0 $ na equação:

    $$ x^2 - 6x + 6 = 0 $$

    Resolvemos:

    $$ \Delta = (-6)^2 - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12 $$

    $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $$

    O ponto mais próximo da origem é:

    $$ Q = (3 - \sqrt{3}, 0) $$

  2. Inclinação da reta tangente: A circunferência tem centro em $ (3, 1) $. O coeficiente angular do raio que liga o centro ao ponto $ Q $ é:

    $$ m_\text{raio} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 1}{(3 - \sqrt{3}) - 3} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

    O coeficiente angular da tangente (perpendicular ao raio) é:

    $$ m_\text{tangente} = -\sqrt{3} $$

  3. Equação da reta tangente: Substituímos $ Q = (3 - \sqrt{3}, 0) $ e $ m_\text{tangente} = -\sqrt{3} $ na fórmula da reta:

    $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$

    $$ y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - 3 $$

Resposta: $ y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - 3 $

Questão 3:

É dado o sistema linear:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ px + qy = 2 \end{cases} $$
em que $ p $ e $ q $ são números reais. Resolver os seguintes itens:
  1. Determine todos os valores de $ p $ e $ q $ para que o sistema seja possível e indeterminado (tenha mais de uma solução).
  2. Determine todos os valores de $ p $ e $ q $ para que o sistema tenha solução $ (x, y) $ com $ x = 0 $.
  3. Determine todos os valores de $ p $ e $ q $ para que o sistema não tenha solução.

(a) Sistema possível e indeterminado

Um sistema linear é possível e indeterminado se as duas equações forem linearmente dependentes, ou seja, uma é múltipla da outra. Isso acontece quando:

$$ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} = \frac{2}{5} $$

Calculamos $ p $ e $ q $ com base nessa proporção:

  1. Da relação $ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} $, temos:

    $$ q = \frac{3}{2}p $$

  2. Da relação $ \frac{p}{2} = \frac{2}{5} $, temos:

    $$ p = \frac{4}{5} $$

  3. Substituímos $ p $ em $ q = \frac{3}{2}p $:

    $$ q = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{5} $$

Resposta do item (a): Para que o sistema seja possível e indeterminado, $ p = \frac{4}{5} $ e $ q = \frac{6}{5} $.

(b) Solução com $ x = 0 $

Se $ x = 0 $, substituímos em ambas as equações:

$$ \begin{cases} 2(0) + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{5}{3} \\ p(0) + qy = 2 \quad \Rightarrow \quad qy = 2 \end{cases} $$

Na segunda equação, substituímos $ y = \frac{5}{3} $:

$$ q \cdot \frac{5}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad q = \frac{6}{5} $$

Aqui, $ p $ pode assumir qualquer valor, pois $ x = 0 $ não depende de $ p $.

Resposta do item (b): Para que o sistema tenha solução $ (x, y) $ com $ x = 0 $, $ q = \frac{6}{5} $ e $ p $ pode ser qualquer número real.

(c) Sistema sem solução

O sistema será impossível (sem solução) quando as equações forem inconsistentes, ou seja, os coeficientes de $ x $ e $ y $ forem proporcionais, mas os termos independentes não forem. Isso acontece quando:

$$ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} \neq \frac{2}{5} $$

  1. Da relação $ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} $, temos:

    $$ q = \frac{3}{2}p $$

  2. Para garantir a inconsistência, $ \frac{p}{2} \neq \frac{2}{5} $, ou seja:

    $$ p \neq \frac{4}{5} $$

Resposta do item (c): Para que o sistema não tenha solução, $ q = \frac{3}{2}p $ e $ p \neq \frac{4}{5} $.

Questão 4

Um parque industrial com 24 indústrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um serviço de inspeção no ponto $ O $ detectou uma substância proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indústrias, com igual probabilidade. Para autuar as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos $ A, B, C, D, E $ e $ F $, no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas as indústrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenários examinados pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente quatro indústrias irregulares.

a) Quantas são as formas possíveis de exatamente quatro indústrias irregulares estarem distribuídas entre as 24 indústrias do parque?

b) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22?

c) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja 14 ou menos?

Como os kits são gastos. Pela figura, cada ponto $ A, \dots, F $ recebe o esgoto de 4 indústrias, formando 6 grupos de 4. No primeiro dia são sempre 6 kits. No segundo dia, cada grupo contaminado custa 4 kits (um por indústria do grupo). Se $ k $ grupos estiverem contaminados:

$$ \text{Total de kits} = 6 + 4k $$

(a) Formas de distribuir as 4 indústrias irregulares

Basta escolher 4 das 24 indústrias, sem importar a ordem:

$$ \binom{24}{4} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\thinspace 626 $$

Resposta (a): $ 10\thinspace 626 $ formas.

(b) Gasto total de 22 kits

$$ 6 + 4k = 22 \quad \Rightarrow \quad k = 4 $$

Ou seja, as 4 indústrias irregulares estão em 4 grupos diferentes, uma em cada grupo. Para contar:

  • escolher os 4 grupos contaminados entre os 6: $ \binom{6}{4} = 15 $;
  • em cada um desses grupos, escolher qual das 4 indústrias é a irregular: $ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4 = 256 $.
$$ \text{Casos favoráveis} = 15 \cdot 256 = 3\thinspace 840 $$$$ P = \frac{3\thinspace 840}{10\thinspace 626} = \frac{640}{1\thinspace 771} \approx 0{,}361 $$

Resposta (b): $ \dfrac{640}{1\thinspace 771} \approx 36{,}1\% $.

(c) Gasto total de 14 kits ou menos

$$ 6 + 4k \leq 14 \quad \Rightarrow \quad k \leq 2 $$

Como há indústrias irregulares, $ k \geq 1 $. Contamos os dois casos:

  • $ k = 1 $ (as 4 irregulares no mesmo grupo): escolhemos o grupo, e o grupo inteiro é irregular:

    $$ \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{4} = 6 \cdot 1 = 6 $$

  • $ k = 2 $ (as 4 irregulares espalhadas por exatamente 2 grupos): escolhemos os 2 grupos, $ \binom{6}{2} = 15 $. Entre as 8 indústrias desses grupos, escolhemos 4, $ \binom{8}{4} = 70 $, mas descontamos os 2 casos em que as 4 ficam todas num grupo só (esses são do caso $ k = 1 $):

    $$ 15 \cdot (70 - 2) = 15 \cdot 68 = 1\thinspace 020 $$
$$ P = \frac{6 + 1\thinspace 020}{10\thinspace 626} = \frac{1\thinspace 026}{10\thinspace 626} = \frac{171}{1\thinspace 771} \approx 0{,}097 $$

Resposta (c): $ \dfrac{171}{1\thinspace 771} \approx 9{,}7\% $.

Conferência: o caso $ k = 3 $ tem $ \binom{6}{3} \cdot 3 \cdot \binom{4}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 20 \cdot 288 = 5\thinspace 760 $ distribuições. Somando todos os casos, $ 6 + 1\thinspace 020 + 5\thinspace 760 + 3\thinspace 840 = 10\thinspace 626 $, que é o total do item (a).

Questão 5

O perímetro de uma figura plana é o comprimento de seu contorno. O diâmetro de uma figura plana é a maior distância entre dois pontos do contorno dessa figura. Calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro em cada uma das figuras planas nos casos a seguir:

a) Um retângulo com lados de medidas 3 e 4.

b) O triângulo obtusângulo $ ABC $ mostrado na Figura 1.

c) A região colorida dentro do círculo de raio $ r $ mostrada na Figura 2.

(a) Retângulo com lados de medidas 3 e 4

  • Perímetro do retângulo: $$ P = 2 \cdot (3 + 4) = 14 $$
  • Diâmetro do retângulo (diagonal, calculada pelo Teorema de Pitágoras): $$ D = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 $$
  • Razão: $$ \frac{P}{D} = \frac{14}{5} = 2{,}8 $$

Resposta (a): A razão entre o perímetro e o diâmetro do retângulo é $ 2{,}8 $.

(b) Triângulo obtusângulo $ \triangle ABC $

Seja $ H $ o pé da altura relativa a $ B $ (o vértice do ângulo reto na figura), com $ CH = BH = \ell $.

  • $\Delta CHB$
$$(BC)^2 = \ell^2+ \ell^2$$

$$(BC) = \ell\sqrt{2}$$
  • $\Delta AHB$
$$(AB)^2 = (2\ell)^2+ \ell^2$$

$$(AB) = \ell\sqrt{5}$$

  • Perímetro do triângulo:

    $$ P = AB + BC + CA = \ell\sqrt{5} + \ell\sqrt{2} + \ell $$

  • Diâmetro do triângulo (maior distância entre dois vértices):

    • $ AB = \ell\sqrt{5} $ é o maior lado do triângulo, logo $ D = AB = \ell\sqrt{5} $.

  • Razão:

    $$ \frac{P}{D} = \frac{\ell\sqrt{5} + \ell\sqrt{2} + \ell}{\ell\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10} + 5}{5} $$

Resposta (b): A razão entre o perímetro e o diâmetro do triângulo é $ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10} + 5}{5} $.

(c) Região colorida dentro do círculo de raio $ r $

  • Perímetro da região colorida:

    • O contorno da região colorida é formado por um arco e uma corda (o segmento vertical).
    • A corda corta fora do círculo um arco de $ 120^\circ $ (o tracejado). O arco colorido mede $ 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ $: $$ \text{arco} = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{4\pi r}{3} $$

  • Corda (lei dos cossenos no triângulo formado pelos dois raios e pela corda):

    $$ (AB)^2 = r^2+ r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 120^\circ $$
$$AB = r\sqrt{3}$$

O perímetro é dado por:

$$P = \frac{4\pi r}{3} + r\sqrt{3}$$

  • Diâmetro: a região contém dois pontos diametralmente opostos do círculo (por exemplo, a ponta de baixo da corda e o ponto do arco oposto a ela), então a maior distância é $ D = 2r $.

  • Razão:

    $$ \frac{P}{D} = \frac{\frac{4\pi r}{3} + r\sqrt{3}}{2r} = \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{6} $$

Resposta (c): A razão entre o perímetro e o diâmetro da região colorida é $ \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{6}$.