Até o mais tolo dos homens, por algum instinto da natureza, sozinho e sem nenhuma instrução, está convencido de que, quanto mais observações forem feitas, menor é o perigo de errar o alvo.

— Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV

Com um dado, sabemos de antemão a chance de cada face: $\frac16$. Mas qual é a chance de um homem de 40 anos viver mais vinte? De chover amanhã? De um remédio funcionar? Nesses casos não há faces iguais para contar. Jakob propôs outro caminho: observar muitas vezes e usar a frequência como estimativa da probabilidade. Se, de muitos homens de 40 anos, metade chegou aos 60, a chance deve ser perto de metade.

Todo mundo já pensava assim, como diz a citação acima. A pergunta de Jakob era mais funda: isso pode ser provado? A frequência realmente se aproxima da probabilidade quando o número de observações cresce, ou o erro pode ficar sempre grande? E quantas observações são necessárias para ter certeza prática? Ele levou vinte anos para responder, e ficou tão orgulhoso do resultado que o chamou de teorema de ouro.

A urna

Jakob formulou o problema com uma urna escondida contendo 3 000 pedras brancas e 2 000 pretas. Quem não pode olhar dentro quer descobrir a proporção de brancas, que é $\frac35$. Para isso, tira uma pedra, anota a cor, devolve e repete.

Depois de $n$ retiradas com $S_n$ brancas, a frequência observada é $\frac{S_n}n$. A pergunta precisa é: quantas retiradas são necessárias para que seja moralmente certo, ou seja, com chance de pelo menos $\frac{1000}{1001}$, que a frequência fique entre $\frac{29}{50}$ e $\frac{31}{50}$, isto é, a menos de $\frac1{50}$ de $\frac35$?

O que o teorema diz

A resposta de Jakob tem duas partes. A primeira é qualitativa: para qualquer margem de erro $\varepsilon$, por menor que seja, a chance de a frequência se afastar de $p$ mais do que $\varepsilon$ vai a zero quando $n$ cresce. Em linguagem de hoje,

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$

É a primeira versão da lei dos grandes números, o nome que Poisson lhe daria em 1837. A segunda parte é numérica: Jakob calculou que, para a urna, 25 550 retiradas bastam para a certeza moral.

Lançamentos simulados de uma moeda. No começo, a proporção de caras oscila muito; com milhares de lançamentos, ela se aproxima de 1/2. O eixo horizontal está em escala logarítmica.
Lançamentos simulados de uma moeda. No começo, a proporção de caras oscila muito; com milhares de lançamentos, ela se aproxima de 1/2. O eixo horizontal está em escala logarítmica.Ilustração de Euler’s Eyes

Uma prova com as ferramentas de hoje

A prova de Jakob ocupa vários capítulos de desigualdades entre os termos do binômio. Hoje a mesma ideia cabe em poucas linhas, usando uma desigualdade que o russo Pafnuti Chebyshev publicou em 1867.

Cada retirada vale $1$ se a pedra é branca e $0$ se é preta. A média de cada retirada é $p$, e a sua variância, que mede o quanto ela oscila em torno da média, é $p(1-p)$. Somando $n$ retiradas independentes e dividindo por $n$, a média continua $p$, mas a variância é dividida por $n$:

$$E\left[\frac{S_n}n\right]=p,\qquad \operatorname{Var}\left(\frac{S_n}n\right)=\frac{p(1-p)}n.$$

É aqui que está o segredo: a média de muitas observações oscila menos que cada observação. A desigualdade de Chebyshev transforma isso numa probabilidade:

$$P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|\geq\varepsilon\right)\leq\frac{p(1-p)}{n\,\varepsilon^2}.$$

Com $p$ e $\varepsilon$ fixos, o lado direito vai a zero quando $n$ cresce. Está provado o teorema de ouro.

As 25 550 retiradas

Jakob sabia que a sua estimativa era generosa. Com a desigualdade de Chebyshev, ela seria pior ainda: com $p=0{,}6$, $\varepsilon=0{,}02$ e chance de erro $\frac1{1001}$,

$$n\geq\frac{0{,}6\cdot0{,}4\cdot1001}{0{,}02^2}\approx600\,600.$$

A conta exata com a binomial, que um computador faz em segundos, mostra que bastam cerca de 6 500 retiradas. Nem Jakob, nem Chebyshev chegam perto, porque as suas desigualdades valem para qualquer situação e por isso desperdiçam precisão. A estimativa justa só ficou possível com a curva normal, que De Moivre encontrou em 1733 justamente ao melhorar o teorema de Jakob.

Exercício: com a desigualdade de Chebyshev, quantos lançamentos de uma moeda garantem, com chance de pelo menos 95%, que a proporção de caras fique a menos de 0,05 de 1/2?

Com $p=\frac12$, $p(1-p)=\frac14$. Queremos $\frac{1/4}{n\cdot0{,}05^2}\leq0{,}05$, ou seja, $n\geq\frac{0{,}25}{0{,}0025\cdot0{,}05}=2\,000$. Chebyshev garante 2 000 lançamentos. A conta exata mostra que uns 400 já bastam: a desigualdade é segura, mas pessimista.

Exercício: uma pesquisa eleitoral entrevista 1 000 pessoas, e 52% votam no candidato A. A lei dos grandes números garante que A está na frente?

Não. Ela diz que a frequência se aproxima da proporção verdadeira quando $n$ cresce, mas com $n=1\,000$ ainda há oscilação. A variância da proporção é cerca de $\frac{0{,}25}{1\,000}$, o que dá um desvio típico de $\sqrt{0{,}00025}\approx0{,}016$, ou 1,6 ponto. Uma diferença de 2 pontos acima de 50% está perto do erro típico: o resultado é compatível tanto com A à frente quanto com empate.

Fontes: Jakob Bernoulli, The Art of Conjecturing, parte IV, trad. Edith Dudley Sylla (Johns Hopkins, 2006) · Stephen M. Stigler, The History of Statistics (Harvard, 1986), cap. 2 · Anders Hald, A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750 (Wiley, 1990).

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