Medir um arco em graus é tão natural hoje que esquecemos de onde veio: da observação do céu.

Quem descobriu

Os astrônomos babilônios dividiam o caminho do Sol no céu em 12 signos de 30 partes, total de 360. O grego Hiparco de Niceia (século II a.C.) levou essa medida para a geometria e montou a primeira tabela de cordas conhecida, que relacionava cada arco à corda correspondente — o começo da trigonometria. Cláudio Ptolomeu ampliou a tabela no Almagesto (c. 150 d.C.), com cordas de meio em meio grau. A comparação e a soma de arcos de uma mesma circunferência seguem o livro III dos Elementos de Euclides.

Hiparco de Niceia, representação artística posterior.
Hiparco de Niceia, representação artística posterior.William Henry Smyth · Wikimedia Commons · Domínio público
Cláudio Ptolomeu, representação artística posterior.
Cláudio Ptolomeu, representação artística posterior.Justus van Gent ou Pedro Berruguete · Wikimedia Commons · Domínio público
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.
Euclides, representação renascentista tradicionalmente associada a Euclides ou Arquimedes.Rafael Sanzio · Wikimedia Commons · Domínio público

A história

Para os astrônomos antigos, o céu era uma grande esfera girando em torno da Terra, e as posições das estrelas eram arcos sobre ela. Somar arcos, compará-los e saber quando dois eram iguais era trabalho diário de quem fazia calendários e previa eclipses.

Astrônomos trabalhando no observatório de Taqi al-Din, em Istambul, numa miniatura otomana do século XVI. Instrumentos como o astrolábio e a esfera armilar medem arcos do céu.
Astrônomos trabalhando no observatório de Taqi al-Din, em Istambul, numa miniatura otomana do século XVI. Instrumentos como o astrolábio e a esfera armilar medem arcos do céu.Acervo do blog Euler’s Eyes.

A tabela de Ptolomeu foi usada por mais de mil anos. Matemáticos indianos trocaram as cordas pelo seno, mais prático nos cálculos, e astrônomos do mundo islâmico — como os do observatório de Istambul — adotaram e aperfeiçoaram essas tabelas. A palavra seno chegou ao latim por uma tradução equivocada do árabe jiba.

No dia a dia

  • Relógio. O mostrador é dividido em 12 arcos iguais de 30°; o ponteiro das horas percorre um deles a cada hora.
  • Fusos horários. A Terra gira 360° em 24 horas, 15° por hora: cada fuso corresponde, em teoria, a um arco de 15° de longitude.
  • Rosa dos ventos. Os pontos cardeais e colaterais dividem a circunferência em arcos de 45°.
  • Pizza e torta. Cortar em 8 fatias iguais é dividir a borda em 8 arcos congruentes de 45°.

Fontes: Hiparco (MacTutor) · Ptolomeu (MacTutor) · Taqi al-Din (Wikipedia).

Teoria e construções

Duas circunferências são congruentes se têm raios iguais. Numa circunferência de centro $O$, os arcos são comparados pelos ângulos centrais que os determinam:

DefiniçãoArcos congruentes, soma e desigualdade

$$\overset{\frown}{AB} \equiv \overset{\frown}{CD} \iff A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D, \qquad \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{CB} \iff A\hat{O}B = A\hat{O}C + C\hat{O}B,$$

$$\overset{\frown}{AB} > \overset{\frown}{CD} \iff A\hat{O}B > C\hat{O}D.$$

Esses conceitos valem também para arcos de circunferências congruentes, e se adaptam a setores e segmentos circulares.