Euler's Eyes
2026-10-22
Noções gerais e funções periódicas
Antes de definir as funções circulares, equipamos o ciclo com quatro eixos e com uma linguagem para dizer em que “pedaço” da volta está um número. Depois estudamos a propriedade que todas essas funções terão em comum: a periodicidade.
A história
A palavra seno tem uma história curiosa. Os astrônomos indianos do século V, como Aryabhata, tabelavam a meia-corda, que chamavam jya-ardha ou simplesmente jya. Os tradutores árabes transcreveram o termo como jiba, escrito só com consoantes, jb. No século XII, os tradutores latinos leram jaib — “dobra”, “seio” — e o traduziram por sinus. A tangente e a secante ganharam nome com o dinamarquês Thomas Fincke, em 1583, e o prefixo co- de cosseno, cotangente e cossecante, que quer dizer “do complemento”, foi fixado por Edmund Gunter em 1620.
A ideia de função periódica como objeto de estudo, e não só como tabela, amadureceu no século XVIII com Euler e explodiu no XIX com Fourier, que mostrou que qualquer movimento periódico pode ser escrito como soma de senos e cossenos (veja a leitura no fim do capítulo).
sânscrito: meia-corda"] --> B["jya
forma curta"] B --> C["jiba
árabe, sem sentido próprio"] C --> D["jb
escrita só com consoantes"] D --> E["jaib
lido como 'dobra', 'seio'"] E --> F["sinus
latim, séc. XII"] F --> G["seno"]
- Aryabhata escreve o Aryabhatiya. A meia-corda se chama jya-ardha, ou só jya, “corda de arco”.
- Na Casa da Sabedoria, as tábuas indianas são traduzidas para o árabe. Jya vira jiba, palavra sem significado em árabe, escrita só com as consoantes jb.
- Robert de Chester traduz para o latim as tábuas de al-Khwarizmi. Lendo jb como jaib — “dobra”, “seio” —, escreve sinus.
- Gerardo de Cremona e outros tradutores de Toledo vertem dezenas de obras árabes de astronomia; sinus se espalha pela Europa.
- Thomas Fincke publica a Geometria rotundi e dá nome à tangens e à secans.
- No Gresham College, Edmund Gunter propõe co-sinus e co-tangens; em 1624 usa pela primeira vez a abreviação sin.
Fontes: Trigonometric functions (MacTutor) · Aryabhata (MacTutor) · Earliest uses of trigonometric terms (Jeff Miller).
No dia a dia
- Calendário. Os dias da semana têm período 7. Se hoje é terça, daqui a 100 dias será quinta, porque $100 = 14 \cdot 7 + 2$.
- Fases da Lua. O ciclo de lua nova a lua nova dura cerca de 29,5 dias; sabendo uma data de lua cheia, prevemos as próximas somando múltiplos do período.
- Semáforos. Um sinal com ciclo de 90 s repete verde, amarelo e vermelho sempre na mesma ordem: o estado no instante $t$ é o mesmo que no instante $t + 90$.
Teoria
Os quatro eixos do ciclo
Num ciclo trigonométrico de origem $A$, associamos quatro eixos.
DefiniçãoEixos das funções circulares
- Eixo dos cossenos ($u$): direção $\overrightarrow{OA}$, sentido positivo de $O$ para $A$.
- Eixo dos senos ($v$): perpendicular a $u$ por $O$, sentido positivo de $O$ para $B$, sendo $B$ tal que $\overset{\frown}{AB} = \dfrac{\pi}{2}$.
- Eixo das tangentes ($c$): paralelo a $v$ passando por $A$, com o mesmo sentido de $v$.
- Eixo das cotangentes ($d$): paralelo a $u$ passando por $B$, com o mesmo sentido de $u$.
Quadrantes
Os eixos $u$ e $v$ dividem a circunferência em quatro arcos: $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{BA'}$, $\overset{\frown}{A'B'}$ e $\overset{\frown}{B'A}$. Dado um número real $x$ de imagem $P$, dizemos:
DefiniçãoQuadrantes
| $x$ está no 1º quadrante | $\iff P \in \overset{\frown}{AB}$ | $\iff 2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ |
| $x$ está no 2º quadrante | $\iff P \in \overset{\frown}{BA'}$ | $\iff \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi$ |
| $x$ está no 3º quadrante | $\iff P \in \overset{\frown}{A'B'}$ | $\iff \pi + 2k\pi \le x \le \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$ |
| $x$ está no 4º quadrante | $\iff P \in \overset{\frown}{B'A}$ | $\iff \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$ |
sempre com $k \in \mathbb{Z}$.
Funções periódicas
Um exemplo preliminar. Dado um real $x$, sempre existem dois inteiros consecutivos $n$ e $n + 1$ com $n \le x < n + 1$. Considere a função $f$ que associa a cada real $x$ o real $x - n$, em que $n$ é o maior inteiro que não supera $x$ — isto é, $f$ devolve a “parte depois da vírgula”. Por exemplo:
$$f(0{,}1) = 0{,}1 \qquad f(1{,}1) = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 \qquad f(2{,}1) = 2{,}1 - 2 = 0{,}1$$$$f(3) = 3 - 3 = 0 \qquad f(-5) = (-5) - (-5) = 0 \qquad f(7) = 7 - 7 = 0.$$De modo geral:
| intervalo | $f(x)$ | intervalo | $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| $0 \le x < 1$ | $x$ | $-1 \le x < 0$ | $x + 1$ |
| $1 \le x < 2$ | $x - 1$ | $-2 \le x < -1$ | $x + 2$ |
| $2 \le x < 3$ | $x - 2$ | $-3 \le x < -2$ | $x + 3$ |
e assim por diante. O gráfico é um “dente de serra”:
Repare que $f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = \cdots$ para todo $x \in \mathbb{R}$: existem infinitos inteiros $p$ tais que $f(x) = f(x + p)$ para todo $x$. O menor número $p > 0$ com essa propriedade é $p = 1$, o período de $f$. Dizemos que $f$ é periódica: somando $p$ à variável, o valor de $f$ não muda — ele se repete a cada acréscimo de $p$.
DefiniçãoFunção periódica e período
Uma função $f\colon A \to B$ é periódica se existe um número $p > 0$ tal que
$$f(x + p) = f(x) \quad \text{para todo } x \in A.$$O menor valor de $p$ que satisfaz essa condição é o período de $f$, indicado por $p(f)$.
PropriedadeO carimbo
O gráfico de uma função periódica tem um trecho de curva que se repete. Para desenhá-lo todo, basta fazer um carimbo com esse trecho e ir carimbando. O período é o comprimento do carimbo, medido no eixo $x$.