Exercícios do capítulo 12 — Teorema de Tales

Determine o valor de $x$ em cada caso abaixo, sendo $r$, $s$ e $t$ retas paralelas.

Nas figuras, as retas $r$, $s$ e $t$ são paralelas. Determine os valores de $x$ e $y$.

Na figura, $\overline{MN}$ é paralela à base $\overline{BC}$ do triângulo $ABC$. Calcule o valor de $x$.

Na figura, $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$. Calcule o valor de $AB$.

Na figura, calcule o valor de $x$.

Na figura, os segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ e $\overline{DE}$ medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm, 12 cm e 15 cm. Calcule as medidas dos segmentos $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$, $\overline{B^{\prime}C^{\prime}}$, $\overline{C^{\prime}D^{\prime}}$ e $\overline{D^{\prime}E^{\prime}}$, sabendo que $\overline{A^{\prime}E^{\prime}}$ mede 54 cm e que as retas $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ são paralelas.

Na figura, $r \parallel s \parallel t$. Determine as medidas $x$ e $y$, sabendo que são proporcionais a 2 e a 3, que o segmento $\overline{A^{\prime}C^{\prime}}$ mede 30 cm e que as retas $a$ e $b$ são paralelas.

Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 cm.

Ver a resolução do livro

$$\frac{x}{5} = \frac{60}{20} \Rightarrow x = 15 \text{ cm}; \qquad \frac{y}{6} = \frac{60}{20} \Rightarrow y = 18 \text{ cm}; \qquad \frac{z}{9} = \frac{60}{20} \Rightarrow z = 27 \text{ cm}.$$

Um feixe de cinco paralelas determina sobre uma transversal quatro segmentos que medem 5 cm, 8 cm, 11 cm e 16 cm. Calcule o comprimento dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre as paralelas extremas mede 60 cm.

Um triângulo $ABC$ tem os lados $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ medindo 24 cm e 20 cm. Sobre o lado $\overline{AC}$, a 6 cm do vértice $C$, tomamos um ponto $M$. Determine a distância de um ponto $N$ de $\overline{BC}$ até o vértice $C$, de modo que $\overline{MN}$ seja paralelo a $\overline{AB}$.

No triângulo $ABC$, o lado $\overline{AC}$ mede 32 cm e o lado $\overline{BC}$, 36 cm. Por um ponto $M$ de $\overline{AC}$, a 10 cm do vértice $C$, traçamos a paralela ao lado $\overline{AB}$, que divide $\overline{BC}$ em dois segmentos $\overline{BN}$ e $\overline{CN}$. Determine a medida de $\overline{CN}$.

Na figura abaixo, em que $a \parallel b \parallel c \parallel d$, temos $AD + AG + HK + KN = 180$ cm, $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{3}{2}$, $\dfrac{JK}{AB} = \dfrac{9}{5}$ e $\dfrac{KL}{AB} = \dfrac{27}{10}$; $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{CD}$ são proporcionais a 2, 3 e 4. Calcule as medidas dos segmentos $\overline{EF}$, $\overline{LM}$ e $\overline{CD}$.

Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a rua “B”, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?

Determine $x$ e $y$, sendo $r$, $s$ e $t$ retas paralelas.

Dados um triângulo $ABC$ e um segmento $\overline{DE}$, com $D$ em $\overline{AB}$ e $E$ em $\overline{AC}$, prove que, se $AD : DB = AE : EC$, então $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{BC}$.

Se $\overline{AS}$ é bissetriz de $\hat{A}$, calcule $x$ nos casos:

Se $\overline{AP}$ é bissetriz do ângulo externo em $A$, determine $x$.

Na figura, $\overline{AS}$ é bissetriz interna do ângulo $\hat{A}$. Calcule o valor de $x$.

Na figura, $\overline{AS}$ é bissetriz interna do ângulo $\hat{A}$. Calcule $x$.

Na figura, calcule os valores de $x$ e $y$, sendo $\overline{BS}$ a bissetriz interna do ângulo $\hat{B}$.

Na figura, $\overline{AD}$ é bissetriz externa do ângulo $\hat{A}$. Calcule $x$.

Determine a medida do lado $\overline{AB}$ do triângulo $ABC$: a) $\overline{AS}$ é bissetriz e o perímetro do $\triangle ABC$ é 75 cm; b) $\overline{AP}$ é bissetriz do ângulo externo em $A$ e o perímetro do $\triangle ABC$ é 23 m.

No triângulo $ABC$ da figura, $\overline{AS}$ é bissetriz interna do ângulo $\hat{A}$ e $\overline{AP}$ é bissetriz externa. Calcule a medida do segmento $\overline{SP}$.

Ver a resolução do livro

$$\text{bissetriz interna: } \frac{x}{20} = \frac{30 - x}{40} \Rightarrow x = 10; \qquad \text{bissetriz externa: } \frac{y}{20} = \frac{30 + y}{40} \Rightarrow y = 30.$$

Logo $SP = x + y = 40$.

Os lados de um triângulo medem 5 cm, 6 cm e 7 cm. Em quanto é preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto?

Sendo $\overline{AS}$ e $\overline{AP}$ bissetrizes dos ângulos interno e externo em $A$, determine o valor de $CP$, dados $BS = 8$ m e $SC = 6$ m.

A bissetriz interna do ângulo $\hat{A}$ de um triângulo $ABC$ divide o lado oposto em dois segmentos que medem 9 cm e 16 cm. Sabendo que $\overline{AB}$ mede 18 cm, determine a medida de $\overline{AC}$.

O perímetro de um triângulo $ABC$ é 100 m. A bissetriz interna do ângulo $\hat{A}$ divide o lado oposto $\overline{BC}$ em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados desse triângulo.

A bissetriz interna $\overline{AD}$ de um triângulo $ABC$ divide o lado oposto em dois segmentos $\overline{BD}$ e $\overline{CD}$ de medidas 24 cm e 30 cm. Sendo $AB$ e $AC$ iguais a $2x + 6$ e $3x$, respectivamente, determine o valor de $x$ e as medidas de $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$.

A bissetriz externa $\overline{AS}$ de um triângulo $ABC$ determina sobre o prolongamento do lado $\overline{BC}$ um segmento $\overline{CS}$ de medida $y$. Sendo os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$, respectivamente, o triplo e o dobro do menor segmento determinado pela bissetriz interna $\overline{AP}$ sobre o lado $\overline{BC}$, que mede 20 cm, determine o valor de $y$.

Os lados de um triângulo medem 8 cm, 10 cm e 12 cm. Em quanto é preciso prolongar o menor lado para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto a esse lado?

Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que o círculo está inscrito no triângulo, determine $x$.

Consideremos um triângulo $ABC$ de 15 cm de perímetro. A bissetriz externa do ângulo $\hat{A}$ desse triângulo encontra o prolongamento do lado $\overline{BC}$ em um ponto $S$. Sabendo que a bissetriz interna do ângulo $\hat{A}$ determina sobre $\overline{BC}$ dois segmentos $\overline{BP}$ e $\overline{PC}$ de medidas 3 cm e 2 cm, respectivamente, determine as medidas dos lados do triângulo e a medida do segmento $\overline{CS}$.