Medindo Hannover, Gauss pensou muito em como fazer mapas de uma Terra curva. Em 1827 publicou o resultado que chamou de Theorema Egregium, o “teorema notável”: a curvatura de uma superfície pode ser medida por quem vive dentro dela, sem sair para olhar de fora.

Uma consequência: num plano, os ângulos de um triângulo somam 180°. Numa esfera, somam mais. Pegue o triângulo com um vértice no polo norte e os outros dois no equador:

Os dois ângulos no equador são retos. Com 90° no polo, o triângulo tem três ângulos retos: 270°.

Os dois ângulos no equador medem 90°, porque os meridianos cortam o equador em ângulo reto. Somando o ângulo $\alpha$ do polo:

$$90° + 90° + \alpha = 180° + \alpha.$$

O que passa de 180° é proporcional à área do triângulo e mostra que a superfície é curva. Por isso nenhum mapa plano da Terra é perfeito: sempre há distorção de distâncias, ângulos ou áreas.

Gauss também percebeu que poderiam existir geometrias em que o postulado das paralelas de Euclides não vale. Mas não publicou nada: em carta de 1829, disse que temia “a gritaria dos beócios”, os que não entenderiam. As geometrias não euclidianas acabaram publicadas por Lobachevsky e János Bolyai.

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