Fonte: FUVEST – prova V1 e gabarito da Prova de Conhecimentos Gerais (1ª fase), aplicada em 23/11/2025. Arquivos no acervo da FUVEST 2026.

A 1ª fase da FUVEST 2026 teve 90 questões de múltipla escolha de todas as disciplinas. Este post traz as questões de matemática. A numeração usada aqui é a da Prova V1; nas versões V2, V3 e V4 as mesmas questões aparecem em outra ordem (o gabarito oficial traz a tabela de correspondência).

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
3 Raciocínio lógico: eleição com desempate Anulada
4 Logaritmos: entropia de Shannon A
6 Geometria espacial: pirâmide regular E
7 Trigonometria: equação com arco duplo D
18 Função exponencial e logaritmos E
30 Geometria espacial: volume do cilindro B
36 Trigonometria no triângulo retângulo E
37 Geometria analítica: equação da circunferência A
55 Números perfeitos, primos e progressões B
74 Transformações de gráficos de funções D

Questão 3: Quantos votos garantem a eleição?

Questão anulada pela FUVEST. No gabarito oficial a questão 3 da Prova V1 aparece com asterisco (anulada). A FUVEST não divulgou o motivo da anulação.

Enunciado

Em uma eleição para um conselho composto por 5 membros, existem 7 candidatos inscritos e um total de 35 eleitores. São eleitos os 5 candidatos com mais votos, sendo o critério de desempate a idade, isto é, se houver uma só vaga para dois candidatos que empataram em número de votos, o candidato mais velho é eleito e o mais novo, não. Aleph, que é o mais novo dentre todos os candidatos, está analisando quantos votos precisa para garantir sua eleição.

Sabendo que cada eleitor tem direito a votar em somente um candidato e que, geralmente, nessas eleições, um ou dois dos eleitores não comparecem para votar, pode-se afirmar:

  • A) Se um ou dois eleitores não comparecerem, Aleph será eleito se tiver pelo menos 5 votos.
  • B) Aleph não será eleito com 5 votos, mesmo que um ou dois eleitores não compareçam.
  • C) Caso dois eleitores não compareçam, Aleph precisará receber 5 votos para se eleger. Mas, se apenas um eleitor não comparecer, 5 votos não garantem sua eleição.
  • D) Na hipótese de dois eleitores não comparecerem, Aleph precisa que um dos eleitos tenha recebido 6 ou mais votos para que ele consiga se eleger com apenas 4 votos.
  • E) Na hipótese de apenas um dos eleitores não comparecer, Aleph precisa que dois dos eleitos tenham recebido 6 ou mais votos para que ele consiga se eleger com apenas 4 votos.

Comentário

Como a questão foi anulada, não há alternativa oficial. Mesmo assim, vale como exercício entender a ideia central, supondo que cada eleitor presente vota em algum candidato.

1. Quando Aleph fica de fora? Aleph perde todos os desempates (é o mais novo). Então, com $v$ votos, ele fica de fora exatamente quando 5 dos outros 6 candidatos têm $v$ votos ou mais.

2. Quantos votos garantem a vaga? Se $T$ é o total de votos, para 5 rivais terem pelo menos $v$ votos cada é preciso $5v + v \le T$, ou seja, $6v \le T$. Com um ou dois eleitores ausentes, $T = 34$ ou $T = 33$:

  • com $v = 5$: $6 \cdot 5 = 30 \le 33$, então é possível que 5 rivais tenham 5 votos ou mais, e 5 votos não garantem a eleição;
  • com $v = 6$: $6 \cdot 6 = 36 > 34$, então 6 votos garantem a eleição.

Ou seja, 5 votos às vezes bastam e às vezes não; 6 votos sempre bastam.

A FUVEST não informou qual trecho do enunciado ou das alternativas levou à anulação, por isso não arriscamos um motivo.

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Questão 4: Entropia de Shannon com logaritmos

Enunciado

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia $E$ de um sistema, a saber

$$E = -\sum_i P_i(x)\log_2 P_i(x)$$

em que $P_i(x)$ é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável $x$.

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha (AA). Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é $\frac{1}{2}$. Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente $\frac{1}{2}$, e nesse caso tem-se:

$$E = -\sum_i P_i(x)\log_2 P_i(x) = -\left(\frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2}\right) = 1$$

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas (AAAA), colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é $\frac{1}{2}$. Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente $\frac{1}{2}$. Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

$$E = -\sum_i P_i(x)\log_2 P_i(x) = -\left(\frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2}\right) = 2$$

Com base nessas informações, qual o valor da entropia $E$, no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha (AAAA)?

  • A) $5 - \frac{9}{4}\log_2 3$
  • B) $\frac{1}{2} - \frac{5}{2}\log_2 3$
  • C) $\frac{3}{2}$
  • D) $\frac{9}{4}\log_2 3$
  • E) $3$

Resolução

Nos exemplos, a soma tem um termo para cada letra da sequência, e cada termo usa a probabilidade de sortear a cor daquela letra.

1. Probabilidades. Na urna há 3 letras azuis e 1 vermelha:

$$P(\text{azul}) = \frac{3}{4}, \qquad P(\text{vermelha}) = \frac{1}{4}$$

2. Montando a soma. São três termos com $\frac{3}{4}$ (as três azuis) e um termo com $\frac{1}{4}$ (a vermelha):

$$E = -\left(3 \cdot \frac{3}{4}\log_2\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\log_2\frac{1}{4}\right)$$

3. Simplificando os logaritmos. Pela propriedade do quociente,

$$\log_2\frac{3}{4} = \log_2 3 - \log_2 4 = \log_2 3 - 2, \qquad \log_2\frac{1}{4} = -2$$

4. Calculando.

$$E = -\left(\frac{9}{4}(\log_2 3 - 2) + \frac{1}{4}\cdot(-2)\right) = -\frac{9}{4}\log_2 3 + \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5 - \frac{9}{4}\log_2 3$$

Conferindo numericamente: $5 - \frac{9}{4}\cdot 1{,}585 \approx 1{,}43$, um valor entre 0 e 2, o que faz sentido (a sequência é “menos misturada” que a de duas azuis e duas vermelhas, que tem entropia 2).

Resposta: alternativa A ($5 - \frac{9}{4}\log_2 3$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D ($\frac{9}{4}\log_2 3 \approx 3{,}57$) aparece quando se esquece o sinal de menos e o termo $-2$ de $\log_2\frac{3}{4}$. Repare que ela dá uma entropia maior que 2, o que não faz sentido aqui.

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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Questão 6: Trilha e rampa da pirâmide

Enunciado

Para uma atividade de campo voltada à valorização do patrimônio histórico e cultural, professores de geografia levaram seus estudantes a um parque temático de monumentos geográficos. Eles visitaram a réplica de uma pirâmide regular de base quadrada com vértice a 18 metros de altura em relação ao centro da base. As faces da pirâmide estão voltadas para as direções norte, sul, leste e oeste. Para acessar o vértice da pirâmide, os estudantes precisaram percorrer uma trilha de pedestre e subir a rampa localizada na face norte. A trilha compreende os lados oeste, sul, leste e metade do lado norte do quadrado. Essa rampa está localizada exatamente no meio da face, ou seja, é o apótema da pirâmide.

Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 864 m³, quantos metros, aproximadamente, os estudantes tiveram que percorrer para chegar até o topo da pirâmide?

  • A) 36
  • B) 41
  • C) 48
  • D) 54
  • E) 61

Resolução

1. Lado da base. O volume da pirâmide é um terço da área da base vezes a altura. Com base quadrada de lado $\ell$ e altura 18 m:

$$864 = \frac{1}{3}\cdot \ell^2 \cdot 18 = 6\ell^2 \quad\Rightarrow\quad \ell^2 = 144 \quad\Rightarrow\quad \ell = 12 \text{ m}$$

2. Comprimento da trilha. Três lados inteiros (oeste, sul e leste) mais metade do lado norte:

$$3 \cdot 12 + 6 = 42 \text{ m}$$

3. Comprimento da rampa (apótema da pirâmide). O apótema $g$ liga o vértice ao ponto médio de um lado da base. Ele é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura (18 m) e pela distância do centro da base ao meio do lado ($\frac{\ell}{2} = 6$ m):

$$g^2 = 18^2 + 6^2 = 324 + 36 = 360 \quad\Rightarrow\quad g = \sqrt{360} \approx 18{,}97 \text{ m}$$

4. Total.

$$42 + 18{,}97 \approx 60{,}97 \approx 61 \text{ m}$$

Resposta: alternativa E (61).

Para revisar, veja Teorema de Pitágoras.

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Questão 7: Onde o estudante errou na equação trigonométrica?

Enunciado

Considere a equação trigonométrica

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} + \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(2x) - \cos\pi$$

para $x \in \mathbb{R}, \quad 0 \le x < 2\pi$.

Um estudante resolveu essa equação da seguinte maneira:

$$ \begin{aligned} \operatorname{sen}\frac{\pi}{2} + \operatorname{sen} x &= \operatorname{sen}(2x) - \cos\pi \\ 1 + \operatorname{sen} x &= \operatorname{sen}(2x) + 1 \\ \operatorname{sen} x &= \operatorname{sen}(2x) \\ \operatorname{sen} x &= 2\operatorname{sen} x \\ 2\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} x &= 0 \\ \operatorname{sen} x &= 0 \\ & x = 0 \text{ ou } x = \pi \end{aligned} $$

A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele

  • A) considerou que $\cos\pi$ vale 1.
  • B) não considerou as infinitas voltas no ciclo trigonométrico para a resposta.
  • C) considerou que $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}$ vale 1.
  • D) não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.
  • E) apresentou duas respostas e não apenas uma.

Resolução

Vamos conferir linha por linha.

1. Segunda linha. $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$ e $\cos\pi = -1$, então $-\cos\pi = +1$. A linha $1 + \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(2x) + 1$ está certa (isso já descarta A e C).

2. Terceira linha. Cancelando o 1 dos dois lados: $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(2x)$. Também está certa.

3. Quarta linha: aqui está o erro. O estudante trocou $\operatorname{sen}(2x)$ por $2\operatorname{sen} x$, mas o seno não “passa o 2 para fora”. Como $2x = x + x$, a fórmula do seno da soma dá

$$\operatorname{sen}(2x) = \operatorname{sen}(x + x) = \operatorname{sen} x\cos x + \cos x\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} x\cos x$$

4. A resolução correta.

$$\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} x\cos x \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen} x \cdot (2\cos x - 1) = 0$$

Então $\operatorname{sen} x = 0$ (dá $x = 0$ ou $x = \pi$) ou $\cos x = \frac{1}{2}$ (dá $x = \frac{\pi}{3}$ ou $x = \frac{5\pi}{3}$). O estudante perdeu as duas últimas soluções.

As outras alternativas também não servem: o enunciado restringe $0 \le x < 2\pi$, então não era preciso considerar “infinitas voltas” (B), e a equação de fato tem mais de uma solução (E).

Resposta: alternativa D (não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos).

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Questão 18: Quando o aplicativo passa de 300 mil usuários?

Enunciado

Uma startup de tecnologia está desenvolvendo um novo aplicativo e observa que o número de usuários está crescendo, em milhares, após $t$ semanas do lançamento, de acordo com a função:

$$M(t) = 200 \times (1{,}1)^t$$

Com isso, a equipe da startup quer saber: qual é o período, em semanas, em que o número de usuários ultrapassa 300 mil?

  • A) Entre 0 e 1 semana.
  • B) Entre 1 e 3 semanas.
  • C) Entre 2 e 4 semanas.
  • D) Entre 3 e 4 semanas.
  • E) Entre 4 e 6 semanas.

Note e adote: $\log 3 \cong 0{,}4771$; $\log 5 \cong 0{,}6990$ e $\log 11 \cong 1{,}0414$

Resolução

1. Montando a inequação. $M(t)$ está em milhares, então 300 mil corresponde a $M(t) = 300$:

$$200 \cdot (1{,}1)^t > 300 \quad\Rightarrow\quad (1{,}1)^t > 1{,}5$$

2. Aplicando logaritmo (base 10, dos dois lados; como o log é crescente, o sentido da desigualdade se mantém):

$$t \cdot \log 1{,}1 > \log 1{,}5 \quad\Rightarrow\quad t > \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}1}$$

3. Calculando os logaritmos com os valores dados.

  • $\log 1{,}1 = \log\frac{11}{10} = \log 11 - 1 = 0{,}0414$
  • $\log 2 = \log\frac{10}{5} = 1 - \log 5 = 0{,}3010$
  • $\log 1{,}5 = \log\frac{3}{2} = \log 3 - \log 2 = 0{,}4771 - 0{,}3010 = 0{,}1761$

4. Resultado.

$$t > \frac{0{,}1761}{0{,}0414} \approx 4{,}25$$

O número de usuários passa de 300 mil depois de cerca de 4,25 semanas, isto é, entre 4 e 6 semanas.

Resposta: alternativa E (entre 4 e 6 semanas).

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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Questão 30: Menor altura da lata de alumínio

Enunciado

O Brasil é o líder mundial em reciclagem de alumínio, atingindo números próximos a 99% de latas recicladas no ano de 2021. Essas latas, já utilizadas para refrigerantes, cervejas, energéticos, agora começam a trazer também água mineral em seu interior.

Considere que uma empresa deseja envasar 350 mL de água em uma lata de alumínio de formato cilíndrico e que, por razões práticas como manuseio e custo do material, o diâmetro da base dessa lata deve ter entre 5 cm e 8 cm.

Qual será, aproximadamente, em centímetros, a menor altura possível da lata?

  • A) 5
  • B) 7
  • C) 13
  • D) 18
  • E) 28

Resolução

1. Volume do cilindro. Como $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$, a lata deve ter volume $350 \text{ cm}^3$:

$$V = \pi r^2 h = 350 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{350}{\pi r^2}$$

2. Quando a altura é mínima? Para um volume fixo, quanto maior o raio, menor a altura. Então usamos o maior diâmetro permitido, 8 cm, ou seja, $r = 4$ cm.

3. Calculando.

$$h = \frac{350}{\pi \cdot 16} \approx \frac{350}{50{,}27} \approx 6{,}96 \text{ cm} \approx 7 \text{ cm}$$

Resposta: alternativa B (7 cm).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D (18 cm) sai quando se usa o menor diâmetro, 5 cm ($h = \frac{350}{\pi \cdot 2{,}5^2} \approx 17{,}8$). Essa é a maior altura possível, não a menor.

Para revisar, veja Área do Círculo.

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Questão 36: Diferença de altitude com a Estação Total

Enunciado

Para realizar o cálculo da diferença de altitude (altura) entre dois pontos A e B, localizados no terreno, um técnico utilizou uma Estação Total (ET), equipamento usado para medir a diferença entre níveis de pontos distintos. Ele posicionou o equipamento, que tem 1,6 m de altura, em um ponto M, equidistante na horizontal dos pontos A e B, a 40 m de cada um, nos quais estão os prismas de leitura (miras), conforme a figura a seguir:

Admitindo-se que o ângulo de inclinação descendente, $\alpha_A$, é 7° e o ângulo de inclinação ascendente, $\alpha_B$, é 5° e que a leitura no prisma, $h_B$, no ponto B foi de 3,60 m, determine a diferença de altitude (altura), em metros, entre os pontos A e B.

  • A) 1,60
  • B) 2,80
  • C) 3,16
  • D) 3,96
  • E) 4,80

Note e adote: $\tan(5°) \cong 0{,}087$ e $\tan(7°) \cong 0{,}122$

Resolução

Tomamos como referência a linha horizontal que passa pelo aparelho (a linha pontilhada da figura). Assim a altura de 1,6 m do aparelho nem entra na conta: ela só diz onde fica essa linha.

1. Ponto A. A visada desce 7° até o pé da mira, no ponto A, a 40 m na horizontal. No triângulo retângulo formado:

$$\text{desnível até A} = 40 \cdot \tan 7° \approx 40 \cdot 0{,}122 = 4{,}88 \text{ m}$$

Logo, o ponto A está 4,88 m abaixo da linha horizontal.

2. Ponto B. A visada sobe 5° e atinge a mira de B num ponto que fica

$$40 \cdot \tan 5° \approx 40 \cdot 0{,}087 = 3{,}48 \text{ m}$$

acima da linha horizontal. Esse mesmo ponto está $h_B = 3{,}60$ m acima do chão em B. Então o chão em B fica $3{,}60 - 3{,}48 = 0{,}12$ m abaixo da linha horizontal.

3. Diferença de altitude.

$$4{,}88 - 0{,}12 = 4{,}76 \text{ m}$$

Com os valores aproximados do “Note e adote” obtemos 4,76 m; usando as tangentes com mais casas decimais ($\tan 7° \approx 0{,}1228$ e $\tan 5° \approx 0{,}0875$) obtemos cerca de 4,81 m. Em qualquer caso, a alternativa mais próxima é 4,80 m. O ponto B é o mais alto.

Resposta: alternativa E (4,80 m).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa C (3,16) é $4{,}76 - 1{,}6$: sai de descontar a altura do aparelho, que não deve entrar na conta, porque as duas visadas partem do mesmo ponto.

Para revisar, veja Triângulos Retângulos.

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Questão 37: Circunferência tangente ao quadrado (geometria analítica)

Enunciado

Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos $A = (0,0)$, $B = (8,0)$, C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro.

Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência $P$, conforme a figura?

Imagem sem escala

  • A) $(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 36$
  • B) $(x - 18)^2 + (y - 4)^2 = 100$
  • C) $(x - 8)^2 + (y - 24)^2 = 36$
  • D) $x^2 + y^2 = 36$
  • E) $(x - 4)^2 + (y - 24)^2 = 100$

Resolução

1. O quadrado. Com $A = (0,0)$ e $B = (8,0)$, o lado mede 8, então $C = (8,8)$ e $D = (0,8)$. O centro do quadrado é $O = (4,4)$.

2. O ponto de tangência. $P$ é o ponto médio de $\overline{BC}$:

$$P = \left(\frac{8+8}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (8, 4)$$

3. O centro do prédio. A circunferência tangencia o lado $BC$ (vertical) em $P$, então o raio que chega em $P$ é perpendicular a $BC$, ou seja, horizontal. O centro está na reta $y = 4$, à direita de $P$. Como ele fica a 10 m de $O = (4,4)$:

$$\text{centro} = (4 + 10, 4) = (14, 4)$$

4. O raio. É a distância do centro até $P$: $r = 14 - 8 = 6$.

5. Equação.

$$(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 6^2 = 36$$

Resposta: alternativa A ($(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 36$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B usa 10 como raio. Mas 10 m é a distância do centro do prédio ao centro do quadrado; o raio é só a parte que vai de $P$ até o centro do prédio, $10 - 4 = 6$.

Para revisar, veja Plano Cartesiano.

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Questão 55: Números perfeitos e primos de Mersenne

Enunciado

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número $n$ (para $n \in \mathbb{N}^*$) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro “Elementos”: se $2^n - 1$ é um número primo, então $2^{n-1}(2^n - 1)$ é um número perfeito.

Considerando o que foi exposto, é correto afirmar:

  • A) Com exceção de $n = 1$, os 5 primeiros termos da sequência $(a_n) = (2^n - 1)$ são números primos.
  • B) Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
  • C) Os números 28 e 31 são números perfeitos.
  • D) Na proposição de Euclides, para $n = 4$, obtemos que $2^n - 1$ não é primo, mas que $2^{n-1}(2^n - 1)$ é perfeito.
  • E) A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de $(a_n) = (2^n - 1)$ é uma progressão aritmética de razão 2.

Resolução

Vamos analisar cada alternativa.

A) Falsa. Os 5 primeiros termos são $2^1 - 1 = 1$, $3$, $7$, $15$ e $31$. Mesmo deixando de lado o termo de $n = 1$, o termo $2^4 - 1 = 15 = 3 \cdot 5$ não é primo.

B) Verdadeira. O primeiro número perfeito é 6, pois $1 + 2 + 3 = 6$. A PG de primeiro termo 6 e razão 3 é

$$6, 18, 54, 162, \dots \qquad a_k = 6 \cdot 3^{k-1} = 2 \cdot 3^k$$

Todo termo tem o fator 2, então todos são pares.

C) Falsa. 28 é perfeito ($1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$), mas 31 é primo: seu único divisor próprio é 1, e $1 \neq 31$.

D) Falsa. Para $n = 4$: $2^4 - 1 = 15$ não é primo (essa parte está certa), mas $2^3 \cdot 15 = 120$ não é perfeito: a soma dos divisores de 120, sem ele próprio, é $360 - 120 = 240 \neq 120$.

E) Falsa. As diferenças são $a_{n+1} - a_n = 2^{n+1} - 2^n = 2^n$, isto é, $2, 4, 8, 16, \dots$: uma progressão geométrica de razão 2, não aritmética.

Resposta: alternativa B.

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D engana porque a proposição de Euclides é do tipo “se… então…”. Quando $2^n - 1$ não é primo, ela não garante nada, e no caso $n = 4$ o número 120 de fato não é perfeito.

Para revisar, veja Números primos.

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Questão 74: Translações, reflexões e dilatações de gráficos

Enunciado

Observe a imagem a seguir:

Com base nos gráficos das funções apresentados na imagem, é correto afirmar que:

  • A) $w(x) = 2h(x)$ e $n(x) = -f(x - 4)$
  • B) $h(x) = f(x) - 2$ e $m(x) = f(x - 3)$
  • C) $w(x) = 2f(x)$ e $g(x) = f(x/2)$
  • D) $n(x) = -m(x + 1)$ e $g(x) = f(2x)$
  • E) $m(x) = f(x + 3)$ e $h(x) = f(x) + 2$

Resolução

1. A função de referência $f$. Pelo gráfico, $f$ é uma parábola com vértice em $(1, 2)$ que passa por $(0, 1)$ e termina em $(3, -2)$. Isso dá

$$f(x) = 2 - (x - 1)^2, \quad 0 \le x \le 3$$

(confira: $f(0) = 2 - 1 = 1$ e $f(3) = 2 - 4 = -2$).

2. Lendo as outras curvas.

  • $h$ (azul-claro): mesma forma de $f$, com vértice em $(1, 0)$: é $f$ descida 2 unidades, $h(x) = f(x) - 2$.
  • $w$ (laranja-claro): vértice em $(1, 4)$, $w(0) = 2$ e $w(3) = -4$, o dobro de cada valor de $f$: $w(x) = 2f(x)$.
  • $g$ (vermelha): vértice em $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$, começa em $(0,1)$ e termina em $(1{,}5\text{; }-2)$: é $f$ “comprimida” pela metade na horizontal, $g(x) = f(2x)$.
  • $m$ (roxa): vértice em $(-2, 2)$, de $x = -3$ a $x = 0$: é $f$ deslocada 3 unidades para a esquerda, $m(x) = f(x + 3)$.
  • $n$ (preta): vértice em $(-3, -2)$, com a concavidade para cima, de $x = -4$ a $x = -1$.

3. Testando a alternativa D. Com $m(x) = 2 - (x + 2)^2$:

$$-m(x + 1) = -\left[2 - (x + 3)^2\right] = (x + 3)^2 - 2$$

Essa parábola tem vértice em $(-3, -2)$ e vale $-1$ em $x = -4$ e $2$ em $x = -1$, exatamente como $n$. E já vimos que $g(x) = f(2x)$. As duas igualdades de D são verdadeiras.

4. Por que as outras falham.

  • A: $w = 2f$, não $2h$ (o dobro de $h$ teria vértice em $(1, 0)$).
  • B: $h = f - 2$ está certa, mas $f(x - 3)$ desloca para a direita; $m$ está à esquerda.
  • C: $w = 2f$ está certa, mas $f(x/2)$ alarga o gráfico; $g$ é mais estreita.
  • E: $m = f(x + 3)$ está certa, mas $f + 2$ sobe o gráfico; $h$ está 2 unidades abaixo.

Resposta: alternativa D.

Cuidado com a pegadinha: as alternativas B, C e E têm uma igualdade certa e outra errada. As trocas de sinal clássicas: $f(x + 3)$ vai para a esquerda e $f(2x)$ comprime o gráfico na horizontal.

Para revisar, veja Conceito de Função.

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