Euler's Eyes
2026-10-16
Equivalência: frações, relógios e o ≡ de Gauss
As escritas $\frac12$ e $\frac24$ são diferentes: uma tem os algarismos $1$ e $2$, a outra $2$ e $4$. Uma pizza cortada em duas fatias, das quais você come uma, não é a mesma coisa que uma pizza cortada em quatro, das quais você come duas: há um corte a mais. E, mesmo assim, escrevemos sem hesitar
$$\frac12=\frac24=\frac36=\frac{50}{100}.$$O que esse igual afirma não é que as escritas sejam iguais, nem que as pizzas sejam iguais. Afirma que, para o que interessa, a quantidade comida, elas não se distinguem.
Iguais para o que interessa
Esse é o trabalho de uma relação de equivalência: agrupar coisas diferentes que, de um certo ponto de vista, contam como a mesma. Para as frações, o critério é
$$\frac ab\sim\frac cd\quad\text{quando}\quad a\cdot d=b\cdot c.$$Com $\frac12$ e $\frac24$: $1\cdot4=2\cdot2$. Com $\frac12$ e $\frac35$: $1\cdot5\neq2\cdot3$, e as frações não são equivalentes.
Uma relação assim só merece um sinal parecido com o igual se tiver as mesmas três leis que o texto 1 apresentou: ser reflexiva, simétrica e transitiva. Quando tem, ela faz uma coisa notável: divide o mundo em classes, gavetas em que cada objeto cai em exatamente uma. Todas as frações equivalentes a $\frac12$ ficam numa gaveta; todas as equivalentes a $\frac13$, em outra.
E aqui está a ideia que a matemática do século XIX tornou explícita: o número racional é a gaveta, não a fração. As frações $\frac12$, $\frac24$, $\frac36$ são nomes diferentes de um só objeto, a classe inteira. É a distinção de Frege entre sentido e referência, vista do outro lado: em vez de partir de um objeto e encontrar os seus nomes, parte-se dos nomes e constrói-se o objeto juntando os que são equivalentes.
O relógio
O exemplo mais cotidiano de equivalência está no pulso. Às $15$ horas, o ponteiro marca $3$. Daqui a $13$ horas, o relógio de ponteiros vai marcar $3+13=16$, e $16$ horas aparecem como $4$. Para o ponteiro, os números $3$, $15$, $27$, $-9$ são todos o mesmo: diferem por um múltiplo de $12$.
Em 1801, Carl Friedrich Gauss deu a essa ideia um nome, uma definição e um sinal, logo no começo das Disquisitiones Arithmeticae. Dois números são côngruos módulo $m$ quando a sua diferença é divisível por $m$. E ele escreveu:
Denotaremos daqui em diante a congruência de números com este sinal, ≡, acrescentando o módulo entre parênteses quando for preciso: −16 ≡ 9 (mod. 5), −7 ≡ 15 (mod. 11).
— Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801), artigo 2
Numa nota de rodapé, Gauss explicou a escolha: adotou o sinal “por causa da grande analogia que existe entre a igualdade e a congruência”. É um argumento semiótico, do mesmo tipo que o de Recorde: o sinal se parece com o igual porque a relação se comporta como o igual. Três tracinhos em vez de dois: quase igual, mas não exatamente.
Uma notação que calcula
A analogia de Gauss não era só visual. As congruências podem ser somadas e multiplicadas como igualdades: se $a\equiv b$ e $c\equiv d$ (mod $m$), então
$$a+c\equiv b+d\pmod m\qquad\text{e}\qquad ac\equiv bd\pmod m.$$Isso faz do $\equiv$ uma notação ativa. Quanto vale o resto de $7^{100}$ na divisão por $6$? Como $7\equiv1\pmod 6$, multiplicando a congruência por ela mesma cem vezes, $7^{100}\equiv1^{100}=1\pmod 6$. Uma conta impossível de fazer à mão vira uma linha.
Mas a analogia tem limite, e o limite também é instrutivo. Com o igual, se $2a=2b$, então $a=b$. Com a congruência, não: $2\cdot3\equiv2\cdot0\pmod 6$, porque $6$ e $0$ deixam o mesmo resto, mas $3\not\equiv0\pmod 6$. Cortar um fator dos dois lados só é permitido quando ele não tem divisor comum com o módulo. O sinal parecido convida a fazer o que se faz com o igual, e o leitor precisa saber onde o convite acaba.
Exercício: tire os noves
Confira $347\cdot28=9716$ pelos noves fora. $347$: $3+4+7=14$, $1+4=5$. $28$: $2+8=10$, $1+0=1$. O produto das gavetas é $5\cdot1=5$. Agora o resultado: $9+7+1+6=23$, $2+3=5$. Bate. Se alguém tivesse escrito $9176$, a soma também daria $23$ e a prova passaria, embora a conta estivesse errada.
Exercício: que dia da semana?
Hoje é sexta-feira. Que dia será daqui a $100$ dias? Os dias da semana se repetem de $7$ em $7$, então só importa a gaveta de $100$ módulo $7$: $100=14\cdot7+2$, logo $100\equiv2\pmod 7$. Daqui a $100$ dias será o mesmo dia que daqui a $2$ dias: domingo.
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