Noções Primitivas

Neste post vamos estudar os elementos primitivos da matemática, que são fundamentais aos elementos de matemática. Este capítulo é dedicado a teoria dos conjuntos, porém, vamos devagar com a teria. Cada post falaremos um pouco sobre esta teoria complexa e densa.

Em teoria dos conjuntos é necessário de algumas noções primitivas:

• noções primitiva de conjunto.
• noções primitiva de pertinência, que usamos o símbolo pertence $\in$.

Pertinência

Em pertinência, a relação entre conjuntos pode ser estabelecida da seguinte forma:

• se $x$ é um elemento e $A$ um conjunto.
• a expressão $x \in A$ significa:
  • “$x$ pertence a $A$”
  • “$x$ está em $A$”

O $x$ descrito anteriormente é definido como elemento.

Exemplo pertinência

um livro pertence ao conjuntos da biblioteca.

Definições

Definição 1: Seja um conjunto $A$ e $x$ tal que $x\in A,$ então $x$ é dito ser elemento. Mais especificamente $x$é um elemento de $A$ ou ainda $x$ pertence a $A$.

Observação: a negação da definição, isto é, x não é um elemento de $A,$ escrevemos como $x \notin A,$ que significa “$x$ não pertence a $A$”.

Este par conjunto e pertinência é a primeira noção primitiva que devemos ter em mente para trabalharmos com conjuntos e elementos.

A convenção utilizada é o uso de letras maíusculas para conjuntos e letras minúsculas para denotar elementos.

A seguir definimos a noção de igualdade de conjuntos.

Definição 2: Sejam dois conjuntos $A$ e $B$ tal que $A=B$. Neste caso dizemos que o conjunto $A$ é igual a $B$ e vice-versa. Simbolicamente escrevemos:

$$A=B \quad \Leftrightarrow \quad (\forall x)~ [(x\in A \rightarrow x\in B) \wedge (x\in B \rightarrow x\in A)]$$

“Para todo $x$, ($x$ pertence a $A$ implica que $x$ pertence a $B$) e ($x$ pertence a $B$ implica que $x$ pertence a $A$)”.

De outra forma, podemos dizer que $A$ é igual a $B$ se e somente se $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos.

A seguir apresentamos o primeiro axioma para teoria de conjuntos.

Axioma da Extensão

Axioma de Extensão: Se $x=y$ e $x\in A,$ então $y\in A$.

Inclusão

Em teoria de conjuntos é importante a noção de inclusão, pois certo conjuntos podem estar inclusos em outros, ou seja, noção de subconjuntos.

Definição de Inclusão

Definição 3: Sejam A e B conjuntos, dizemos que:

• $A$ está contido em $B,$ (ou $B$ contém $A$)
• denotamos por $a \subseteq B$ ( ou $B \supseteq A$),
• se todo elemento de $A$ é um elemento de $B.$
• Neste caso, dizemos também que $A$ é um subconjunto de $B.$

Simbolicamente escrevemos:

$$A \subseteq B \quad \Leftrightarrow \quad (\forall x) (x\in A \rightarrow x \in B).$$

Definição de subconjunto próprio

Agora vamos definir um subconjunto próprio.

Definição 3: Se $A \subseteq B$ e $A$ é diferente de B, dizemos que $A$ é um subconjunto próprio de $B$ e denotamos por $A \subsetneq B$ ou $A \subset B.$

Disto, obtemos a primeira proposição do post.

Proposição de Inclusão

Proposição: Sejam $A, B$ e $C$ conjuntos. Então temos:

1. Reflexiva: $A = A$.
2. Simétrica: $A = B \Rightarrow B = A$.
3. Transitiva: $A = B$ e $B = C \Rightarrow A = C$.
4. Reflexiva: $A \subseteq A$.
5. Anti-simétrica: $A \subseteq B$ e $B \subseteq A \Leftrightarrow A = B$
6. Transitiva: $A \subseteq B$ e $B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$.

Demonstração:

Como ilustração, vamos demonstrar alguns itens, os demais fica como exercício.

1. A proposição $x \in A \rightarrow x \in A$ é uma tautologia,

Da definição 1, temos $A = A.$

2. Da definição 1 temos que

Agora, pela comutatividade do conectivo $\wedge$ e da definição 1, obtemos que $B = A.$

5. Da definição 2, temos que $A \subseteq B \wedge B \subseteq A$ é equivalente a proposição

que por sua vez, é equivalente a $A = B$ pela definição 1. $\square$

Até aqui especificamos alguns conceitos primitivos da teoria de conjuntos. Aguardem os próximos posts.