FUVEST 2023 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: FUVEST – prova (versão V) e gabarito oficial da 1ª fase (Prova de Conhecimentos Gerais, aplicada em 04/12/2022).

A 1ª fase da FUVEST 2023 teve 90 questões de todas as disciplinas. Este post traz as questões de matemática: 21, 22, 24, 36, 58 e 84 a 90. A numeração é a da Prova V; nas outras versões (K, Q, X e Z) as mesmas questões aparecem em outra ordem. A questão 58 é interdisciplinar (emissões de CO₂), mas é resolvida com leitura de gráfico e estimativa de área, por isso está aqui.

Gabarito

Questão 21: Preço do arroz com desconto progressivo (funções)

Enunciado

Em uma feira de produtos orgânicos é vendido arroz a granel. A gerente da feira decidiu oferecer descontos progressivos na venda de arroz, de acordo com os seguintes critérios:

• Quem comprar exatamente 1 kg de arroz paga R$ 5,00.
• Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, maior será o total a pagar.
• Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, menor será o valor por quilo.

Cada uma das alternativas listadas apresenta uma possível fórmula para o total que o cliente irá pagar, em reais, se comprar uma quantidade $x$, em quilos, de arroz. A única alternativa que atende aos critérios estabelecidos é:

• A) $5x^2$
• B) $5\sqrt{x}$
• C) $\dfrac{5}{x}$
• D) $5x$
• E) $5x - x^2$

Resolução

Chame de $T(x)$ o total pago por $x$ quilos. O valor por quilo é $\dfrac{T(x)}{x}$. Os três critérios dizem:

1. $T(1) = 5$;
2. $T(x)$ é crescente;
3. $\dfrac{T(x)}{x}$ é decrescente.

1. Testando cada alternativa.

2. Conclusão. Só $T(x) = 5\sqrt{x}$ cumpre os três critérios: vale 5 em $x = 1$, cresce com $x$, e o preço por quilo, $\dfrac{5\sqrt{x}}{x} = \dfrac{5}{\sqrt{x}}$, diminui quando $x$ aumenta. Por exemplo, 4 kg custam $5\sqrt{4} = 10$ reais, ou seja, R$ 2,50 por quilo.

Resposta: alternativa B ($5\sqrt{x}$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D ($5x$) cumpre os dois primeiros critérios, mas nela o preço por quilo é sempre R$ 5,00: não há desconto nenhum. Já a alternativa C faz o preço por quilo cair, mas o total também cai, o que contraria o segundo critério.

Para revisar, veja Conceito de Função.

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Questão 22: Parcelas do celular em progressão aritmética

Enunciado

Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais que formam uma progressão aritmética crescente. As três primeiras parcelas foram de R$ 120,00, R$ 126,00 e R$ 132,00. Sabendo que, ao final, constatou-se que Joana não pagou a 19ª parcela, o valor pago por ela foi:

• A) R$ 3.954,00
• B) R$ 4.026,00
• C) R$ 4.200,00
• D) R$ 4.308,00
• E) R$ 4.382,00

Resolução

1. Identificar a PA. O primeiro termo é $a_1 = 120$ e a razão é $r = 126 - 120 = 6$. O termo geral é $a_n = a_1 + (n-1)r$.

2. Última parcela.

3. Soma das 24 parcelas.

4. Parcela que não foi paga.

5. Valor pago.

Resposta: alternativa D (R$ 4.308,00).

Para revisar, veja Progressão Aritimética.

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Questão 24: Razão entre os preços do etanol e da gasolina

Enunciado

André e Bianca possuem automóveis que podem ser abastecidos com etanol, gasolina ou uma mistura dos dois combustíveis. Em um mesmo posto de combustível, André abasteceu seu carro com 18 litros da bomba de etanol e 32 litros da bomba de gasolina; já Bianca abasteceu seu carro com 30 litros da bomba de etanol e 20 litros da bomba de gasolina. Sabendo que o valor total pago por André foi 10% maior do que o pago por Bianca, a razão entre os preços, por litro, de etanol e de gasolina é:

• A) $5/8$
• B) $2/3$
• C) $7/10$
• D) $3/4$
• E) $4/5$

Resolução

Seja $e$ o preço do litro de etanol e $g$ o preço do litro de gasolina.

1. Montar a equação. André pagou $18e + 32g$; Bianca pagou $30e + 20g$. “10% maior” significa multiplicar o valor de Bianca por $1{,}1$:

2. Isolar a razão.

3. Conferindo com números. Com $e = 2$ e $g = 3$: André paga $36 + 96 = 132$ e Bianca paga $60 + 60 = 120$; e $132 = 1{,}1 \cdot 120$. Certo.

Resposta: alternativa B ($2/3$).

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 36: Escala pitagórica (potências)

Enunciado

Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões $\frac{9}{8}$ e $\frac{256}{243}$. A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de $\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}$.

Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220 Hz e outra de 990 Hz é composto por $n$ tons e $m$ semitons, a soma $m + n$ é igual a:

• A) 13
• B) 14
• C) 15
• D) 16
• E) 17

Resolução

1. Razão entre as frequências. O intervalo é medido pela razão (não pela diferença):

2. Montar a equação. $n$ tons e $m$ semitons correspondem ao produto

3. Fatorar em primos. $\frac{9}{8} = \frac{3^2}{2^3}$, $\frac{256}{243} = \frac{2^8}{3^5}$ e $\frac{9}{2} = \frac{3^2}{2^1}$. Então

4. Comparar os expoentes (a fatoração em primos é única):

Da primeira, $n = \dfrac{2 + 5m}{2}$. Substituindo na segunda: $16m - 3(2 + 5m) = -2$, ou seja, $16m - 6 - 15m = -2$, logo $m = 4$ e $n = \dfrac{2 + 20}{2} = 11$.

5. Conferência. $2 \cdot 11 - 5 \cdot 4 = 2$ e $8 \cdot 4 - 3 \cdot 11 = -1$. Certo. Então $m + n = 4 + 11 = 15$.

Resposta: alternativa C (15).

Para revisar, veja Potenciação dos Números inteiros.

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Questão 58: Emissão total de CO₂ entre 1950 e 1990 (leitura de gráfico)

Enunciado

O gráfico mostra a quantidade de emissão de CO₂ (em bilhões de toneladas) em função do ano.

Disponível em https://www.bbc.com/. Adaptado.

O total de emissão de CO₂, em bilhões de toneladas, entre os anos de 1950 e 1990, está entre

• A) 1 e 5.
• B) 5 e 100.
• C) 100 e 300.
• D) 300 e 800.
• E) 800 e 1000.

Resolução

O gráfico dá a emissão por ano. O total emitido de 1950 a 1990 é a soma das emissões dos cerca de 40 anos, que corresponde à área da região destacada (mais escura) sob a curva.

1. Ler o gráfico. A curva é crescente nesse período. Em 1950 a emissão está por volta de 6 bilhões de toneladas; em 1970, perto de 15; em 1990, um pouco acima de 20 (cerca de 22).

2. Limitar cada metade do período. Como a curva cresce, em cada trecho a emissão anual fica entre o valor do início e o valor do fim:

• de 1950 a 1970 (20 anos): entre $20 \cdot 6 = 120$ e $20 \cdot 15 = 300$;
• de 1970 a 1990 (20 anos): entre $20 \cdot 15 = 300$ e $20 \cdot 22 = 440$.

Somando: o total fica entre $120 + 300 = 420$ e $300 + 440 = 740$ bilhões de toneladas.

3. Estimativa direta. Aproximando a região por um trapézio de bases 6 e 22 e altura 40 anos:

As duas contas apontam para um valor entre 300 e 800.

Resposta: alternativa D (entre 300 e 800).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (5 e 100) atrai quem olha só o eixo vertical, onde os valores anuais vão de cerca de 5 a 22. A pergunta é o total do período, ou seja, a soma de 40 anos de emissões.

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Questão 84: Montagem de provas (combinações)

Enunciado

Um professor precisa elaborar uma prova multidisciplinar que consta de duas questões de Matemática e seis de Física. Ele deve escolher questões de um banco de dados que contém três questões de Matemática e oito de Física. O número de provas distintas possíveis, sem levar em conta a ordem em que as questões aparecem, é:

• A) 42
• B) 54
• C) 62
• D) 72
• E) 84

Resolução

A ordem não importa, então cada escolha é uma combinação.

1. Questões de Matemática: escolher 2 entre 3:

2. Questões de Física: escolher 6 entre 8 (o mesmo que escolher as 2 que ficam de fora):

3. Princípio multiplicativo. Cada escolha de Matemática pode ser combinada com cada escolha de Física:

Resposta: alternativa E (84).

Para revisar, veja Triângulo de Pascal.

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Questão 85: Ranking da FIFA (exponencial e logaritmo)

Enunciado

A FIFA (Federação Internacional de Futebol) implementou, em 2018, a versão mais recente do ranking das seleções. Suponha que as seleções A e B, com pontuações $P_A$ e $P_B$, respectivamente, disputarão uma final de Copa do Mundo. A pontuação atualizada da seleção A após a partida será dada por

onde

e o valor de $V_A$ depende do resultado da partida de acordo com a tabela:

Sabendo que $P_A - P_B = 360$, se a seleção A vencer a partida, sua pontuação aumentará em

• A) 6 pontos.
• B) 10 pontos.
• C) 12 pontos.
• D) 15 pontos.
• E) 20 pontos.

Note e adote: $\log_{10} 2 = 0{,}3$

Resolução

1. O expoente. $\dfrac{P_A - P_B}{600} = \dfrac{360}{600} = 0{,}6$.

2. Calcular $10^{0{,}6}$ com o dado. Como $\log_{10} 2 = 0{,}3$, temos $10^{0{,}3} = 2$. Então

3. Expectativa de resultado.

4. Aumento da pontuação em caso de vitória ($V_A = 1$):

Resposta: alternativa C (12 pontos).

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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Questão 86: Volume de uma pedra irregular (cilindro)

Enunciado

Para medir o volume de uma pedra com formato irregular, Ana utilizou um recipiente cilíndrico de raio $r = 8$ cm e com água até a altura de 20 cm. Após colocar a pedra no recipiente, a altura da água subiu para 23,5 cm.

O volume da pedra é:

• A) $128\pi$ cm³
• B) $224\pi$ cm³
• C) $240\pi$ cm³
• D) $282\pi$ cm³
• E) $320\pi$ cm³

Resolução

A pedra, totalmente submersa, ocupa o lugar de um volume igual de água. Por isso o nível sobe: o volume da pedra é o volume do “cilindro” de água que subiu.

1. Quanto a água subiu. $23{,}5 - 20 = 3{,}5$ cm.

2. Volume desse cilindro (raio 8 cm, altura 3,5 cm):

Resposta: alternativa B ($224\pi$ cm³).

Para revisar, veja Área do Círculo.

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Questão 87: Primorial (números primos)

Enunciado

Dado um número natural $n \geq 2$, o primorial de $n$, denotado por $n\\#$, é o produto de todos os números primos menores que ou iguais a $n$. Por exemplo,

O menor número da forma $n\\#$ que é maior que $2000$ é:

• A) 2300
• B) 2305
• C) 2310
• D) 2312
• E) 2322

Resolução

O primorial só muda quando $n$ passa por um número primo, então basta ir multiplicando os primos em ordem:

O último valor abaixo de 2000 é 210 (para $7 \leq n \leq 10$). O próximo, para $n = 11$ (e até $n = 12$), é $2310$, o primeiro maior que 2000.

Conferência pelas alternativas: um primorial com $n \geq 5$ é múltiplo de $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Das opções, só 2310 é múltiplo de 30 (2300 e 2305 não são múltiplos de 3; 2312 e 2322 não são múltiplos de 5).

Resposta: alternativa C (2310).

Para revisar, veja Números primos.

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Questão 88: Ladrilhamento uniforme do piso (polígonos regulares)

Enunciado

Um ladrilhamento é chamado de uniforme se é composto por polígonos regulares que preenchem todo o plano sem sobreposição e, além disso, o padrão é o mesmo em cada vértice. Para classificá-los, utilizamos uma notação dada por uma sequência de números que é definida desta forma: escolhemos um vértice qualquer e indicamos o número de lados de cada polígono que contém este vértice, seguindo o sentido anti-horário, iniciando com os polígonos de menos lados, conforme os exemplos:

A foto mostra o piso de um museu em Sevilha.

A notação que representa o padrão do ladrilhamento do piso é:

• A) (3 . 3 . 3 . 4)
• B) (3 . 3 . 4 . 6)
• C) (3 . 4 . 4 . 4)
• D) (3 . 4 . 4 . 6)
• E) (3 . 4 . 6 . 4)

Resolução

1. Ângulos internos. Os polígonos da foto são triângulos (60°), quadrados (90°) e hexágonos (120°) regulares. Em cada vértice, os ângulos precisam somar exatamente $360^\circ$.

2. Testar a soma de cada alternativa.

3. Olhar a ordem na foto. Sobram D e E, que têm os mesmos polígonos em ordem diferente. Na foto, em cada vértice há um triângulo, um quadrado, um hexágono e outro quadrado: os dois quadrados não são vizinhos, ficam separados pelo triângulo de um lado e pelo hexágono do outro. Começando pelo triângulo e girando no sentido anti-horário: triângulo, quadrado, hexágono, quadrado, ou seja, (3 . 4 . 6 . 4).

Resposta: alternativa E (3 . 4 . 6 . 4).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D tem os mesmos polígonos e também soma 360°, mas coloca os dois quadrados lado a lado. A notação registra a ordem dos polígonos em volta do vértice, e na foto os quadrados estão separados.

Para revisar, veja Polígonos Regulares.

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Questão 89: Área do quadrado sem o setor circular (geometria analítica)

Enunciado

Considere a região do plano cartesiano

esboçada na figura.

Dado $B = \\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : (x + 1)^2 + y^2 \geq 1\\}$, a área da região $A \cap B$ é:

• A) $2 - \frac{\pi}{4}$
• B) $2 - \frac{\pi}{2}$
• C) $4 + \frac{\pi}{2}$
• D) $4 - \frac{\pi}{4}$
• E) $2 + \frac{\pi}{2}$

Resolução

1. A região $A$. É o quadrado de vértices $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ e $(0,-1)$. Suas diagonais medem 2, então sua área é

2. A região $B$. $(x+1)^2 + y^2 \geq 1$ são os pontos fora (ou na borda) do círculo de centro $(-1, 0)$ e raio 1. Então $A \cap B$ é o quadrado $A$ sem a parte desse círculo que está dentro dele.

3. A parte do círculo dentro de $A$. O centro $(-1, 0)$ é um vértice do quadrado, onde o ângulo interno é $90^\circ$. Os lados que saem desse vértice medem $\sqrt{2} > 1$, e os outros dois lados estão à distância $\frac{|-1 - 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 1$ do centro. Logo, a parte do círculo dentro do quadrado é exatamente um setor de 90° (um quarto do círculo):

4. Área pedida.

Resposta: alternativa A ($2 - \frac{\pi}{4}$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B ($2 - \frac{\pi}{2}$) desconta meio círculo. Mas só um quarto do círculo entra no quadrado, porque o ângulo do quadrado no vértice $(-1, 0)$ é reto.

Para revisar, veja Área do Círculo.

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Questão 90: Gráfico de função logarítmica

Enunciado

No plano cartesiano, os pontos $(3, 2)$ e $(5, 4)$ pertencem ao gráfico da função dada por

O valor de $a + b$ é:

• A) $-8$
• B) $-6$
• C) $0$
• D) $4$
• E) $8$

Resolução

1. Usar a definição de logaritmo. $y = \log_2(ax + b)$ equivale a $ax + b = 2^y$.

• Ponto $(3, 2)$: $3a + b = 2^2 = 4$.
• Ponto $(5, 4)$: $5a + b = 2^4 = 16$.

2. Resolver o sistema.

Subtraindo a primeira da segunda: $2a = 12$, logo $a = 6$ e $b = 4 - 18 = -14$.

3. Conferência. $\log_2(6 \cdot 3 - 14) = \log_2 4 = 2$ e $\log_2(6 \cdot 5 - 14) = \log_2 16 = 4$. Certo.

Resposta: alternativa A ($-8$).

Para revisar, veja Introdução a Tábua de Logaritmos.

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