Por volta de 1637, Pierre de Fermat anotou na margem de um livro que a equação

$$x^n+y^n=z^n$$

não tem soluções em números inteiros positivos quando $n$ é maior que 2, e que tinha uma demonstração maravilhosa que não cabia na margem. É o último teorema de Fermat. Ninguém nunca encontrou a demonstração dele, e o problema só foi resolvido por Andrew Wiles em 1994.

Até 1800, a situação era modesta. Fermat tinha provado o caso $n=4$, Euler o caso $n=3$. Bastava estudar os expoentes $n=p$ primos, mas cada primo exigia um truque próprio, e ninguém conseguia passar do 3. Sophie Germain foi a primeira pessoa a provar algo para infinitos expoentes de uma só vez.

Dois casos

Sophie dividiu o problema em dois. Suponha que existisse uma solução $x^p+y^p=z^p$. Ou nenhum dos três números $x$, $y$, $z$ é múltiplo de $p$, o que hoje se chama primeiro caso, ou algum deles é, o segundo caso. O teorema dela trata do primeiro.

Teorema de Sophie Germain. Se $p$ é um primo ímpar e $2p+1$ também é primo, então não existem inteiros $x, y, z$, nenhum deles múltiplo de $p$, com $x^p+y^p=z^p$.

Primos $p$ com $2p+1$ também primo são hoje chamados de primos de Sophie Germain: $3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, \ldots$

A ideia, com p = 5

Vamos ver o coração da prova no caso $p=5$, em que $2p+1=11$. Suponha que $x^5+y^5=z^5$. Olhe tudo módulo 11. Como vimos nas cartas a Gauss, uma quinta potência módulo 11 só pode ser $0$, $1$ ou $-1$.

Se nenhum dos três fosse múltiplo de 11, as três quintas potências seriam $\pm1$. Mas a soma de dois números $\pm1$ dá $-2$, $0$ ou $2$, e nenhum desses é $\pm1$ módulo 11:

$$\pm1\pm1\in\{-2,\,0,\,2\}\not\ni\pm1\pmod{11}.$$

Então um dos números $x$, $y$, $z$ tem de ser múltiplo de 11. Esse é o primeiro passo. No segundo, Sophie usa a fatoração

$$z^5-y^5=(z-y)\left(z^4+z^3y+z^2y^2+zy^3+y^4\right)$$

e outras congruências para mostrar que, se 11 divide um dos números, então 5 também tem de dividir um deles. Isso contradiz a hipótese do primeiro caso, e a solução não pode existir.

O papel de $2p+1$ é ser um primo auxiliar onde as potências $p$-ésimas são tão pobres que a equação fica impossível. Sophie percebeu que outros primos auxiliares também serviam e, com eles, verificou o primeiro caso para todos os primos menores que 100. Legendre estendeu a verificação até 197.

Depois de Sophie

O caminho aberto por ela foi seguido por Dirichlet e Legendre, que provaram o caso $n=5$ em 1825, e por Lamé, que provou $n=7$ em 1839. Em meados do século XIX, Ernst Kummer resolveu de uma vez todos os primos “regulares”. A demonstração completa de Wiles, em 1994, usou ideias totalmente diferentes, mas o teorema de Sophie Germain continuou sendo citado como o primeiro resultado geral sobre o problema.

Exercício: use p = 3 e 2p + 1 = 7 para mostrar que, se x³ + y³ = z³, um dos números é múltiplo de 7

Módulo 7, os cubos só valem $0$, $1$ ou $6\equiv-1$. Se nenhum dos números fosse múltiplo de 7, teríamos $\pm1\pm1\equiv\pm1\pmod 7$. Mas $\pm1\pm1$ só dá $-2\equiv5$, $0$ ou $2$, e nenhum é $1$ ou $6$. Logo 7 divide $x$, $y$ ou $z$.

Exercício: quais primos menores que 100 são primos de Sophie Germain?

Testando $2p+1$ para cada primo $p$: $2\to5$, $3\to7$, $5\to11$, $11\to23$, $23\to47$, $29\to59$, $41\to83$, $53\to107$, $83\to167$ e $89\to179$ são todos primos. Os outros falham, por exemplo $7\to15$ e $13\to27$. São 10 primos: $2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89$.

Fontes: Reinhard Laubenbacher e David Pengelley, “‘Voici ce que j’ai trouvé’: Sophie Germain’s grand plan to prove Fermat’s Last Theorem”, Historia Mathematica (2010) · biografia de Sophie Germain, MacTutor · Harold M. Edwards, Fermat’s Last Theorem (1977).

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