Os pontos de Lagrange: onde a gravidade se equilibra

Em 25 de dezembro de 2021, um foguete partiu da Guiana Francesa levando o telescópio espacial James Webb. Ele não foi colocado em órbita da Terra, como o Hubble. Viajou um mês até um ponto vazio do espaço, a 1,5 milhão de quilômetros daqui, sempre do lado oposto ao Sol, e ficou lá. O endereço desse ponto sai de um trabalho premiado de Lagrange, de 1772. Chama-se L2.

Três corpos

Newton resolveu por completo o movimento de dois corpos que se atraem, como o Sol e um planeta: cada um descreve uma elipse. Com três corpos, por exemplo o Sol, a Terra e a Lua, tudo se complica. Cada corpo puxa os outros dois, e o movimento pode ficar caótico. Os matemáticos do século XVIII sabiam que não ia ser fácil, e a Academia de Paris pôs o problema várias vezes como tema de prêmio.

Em 1772, o prêmio foi dividido entre Euler e Lagrange. O trabalho de Lagrange, Ensaio sobre o problema dos três corpos, não encontrou a solução geral, que de fato não existe em forma de fórmula, como Poincaré mostraria em 1890. Mas encontrou algo surpreendente: soluções especiais em que os três corpos giram juntos, como um bloco rígido, sem nunca mudar a forma da figura que desenham.

Há dois jeitos de isso acontecer. Os três corpos podem ficar alinhados, uma solução que Euler já tinha achado em 1767. Ou podem ficar nos vértices de um triângulo equilátero, de qualquer tamanho, girando em torno do centro de massa. Essa segunda foi a descoberta de Lagrange.

Os cinco pontos

Quando um dos três corpos é muito pequeno, como uma nave espacial perto do Sol e da Terra, essas soluções viram cinco lugares do espaço. Uma nave posta num deles gira em torno do Sol junto com a Terra, mantendo sempre a mesma posição em relação aos dois.

• L1 fica entre a Terra e o Sol, onde a atração da Terra desconta um pouco da do Sol.
• L2 fica do outro lado da Terra, onde a atração dos dois se soma.
• L3 fica do outro lado do Sol, um pouco mais longe que a Terra.
• L4 e L5 são os vértices dos triângulos equiláteros.

A conta de L2

Por que L2 fica a 1,5 milhão de quilômetros, e não em outro lugar? Um corpo a uma distância $r$ além da Terra está a $R+r$ do Sol, onde $R$ é a distância Terra–Sol. Para girar junto com a Terra, ele precisa dar a volta no mesmo tempo que ela, um ano. Mais longe do Sol, a atração do Sol sozinha seria fraca demais para isso; a atração da Terra, puxando no mesmo sentido, completa o que falta.

Escrevendo a igualdade entre a atração total e a força necessária para fazer a curva, e usando que $r$ é muito menor que $R$, chega-se a uma fórmula simples:

em que $m$ é a massa da Terra e $M$ a do Sol. A Terra tem cerca de $3\times10^{-6}$ da massa do Sol, e

L1 fica à mesma distância, do lado de cá. É uma conta de Lagrange que se faz hoje na ponta do lápis para escolher onde estacionar um telescópio.

Os troianos

L4 e L5 são diferentes. No século XIX, o inglês Edward Routh mostrou que eles são estáveis, como uma bola no fundo de um vale, desde que o corpo maior tenha pelo menos uns 25 vezes a massa do segundo. O Sol tem cerca de 1047 vezes a massa de Júpiter, e então deveria haver coisas acumuladas ali, presas há bilhões de anos.

Em 1906, o astrônomo alemão Max Wolf, de Heidelberg, encontrou um asteroide exatamente 60° à frente de Júpiter na órbita. Deu-lhe o nome de Aquiles, o herói grego da Ilíada. Os seguintes ganharam nomes de outros heróis da Guerra de Troia, e o grupo ficou conhecido como asteroides troianos. Hoje se conhecem mais de 10 mil. Por convenção, os de L4 levam nomes de gregos e os de L5, de troianos, com duas exceções que vieram antes da regra: Heitor, troiano, está no acampamento grego, e Pátroclo, grego, está no troiano.

Em 2021, a NASA lançou a sonda Lucy para visitar vários troianos de Júpiter. O nome homenageia o famoso fóssil humano, que por sua vez foi batizado por causa de uma canção dos Beatles. Os troianos são restos da época em que os planetas se formaram, guardados num ponto que Lagrange encontrou com papel e tinta.

Fontes: Joseph-Louis Lagrange, Essai sur le problème des trois corps (1772), no tomo 6 das Œuvres de Lagrange · biografia de Lagrange, MacTutor · What is a Lagrange Point?, NASA.

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