Em 1750, numa carta ao matemático Christian Goldbach, Euler anotou uma relação entre o número de vértices ($V$), arestas ($A$) e faces ($F$) de um poliedro convexo:

$$V - A + F = 2.$$

Gire os poliedros com o dedo ou o mouse e confira a conta:

V, A e F são contados pelo programa a partir do próprio desenho. Em todos dá 2.

Confira nos cinco poliedros regulares:

Poliedro $V$ $A$ $F$ $V - A + F$
Tetraedro 4 6 4 2
Cubo 8 12 6 2
Octaedro 6 12 8 2
Dodecaedro 20 30 12 2
Icosaedro 12 30 20 2

A fórmula permite deduzir coisas surpreendentes. Pense numa bola costurada com $p$ pentágonos e $h$ hexágonos, em que cada vértice é encontro de exatamente três faces, como na bola de futebol clássica. Quantos pentágonos ela precisa ter?

  • Faces: $F = p + h$.
  • Arestas: cada pentágono tem 5 lados, cada hexágono tem 6, e cada aresta é compartilhada por duas faces. Então $A = \frac{5p + 6h}{2}$.
  • Vértices: cada vértice é compartilhado por três faces. Então $V = \frac{5p + 6h}{3}$.

Substituindo em $V - A + F = 2$ e multiplicando tudo por 6:

$$2(5p + 6h) - 3(5p + 6h) + 6(p + h) = 12$$ $$-(5p + 6h) + 6p + 6h = 12$$ $$p = 12.$$

O número de hexágonos sumiu da conta! Toda bola desse tipo tem exatamente 12 pentágonos, não importa quantos hexágonos tenha. A bola de futebol clássica tem 12 pentágonos e 20 hexágonos ($V = 60$, $A = 90$, $F = 32$, e $60 - 90 + 32 = 2$). A mesma conta vale para as moléculas de fulereno, como a $C_{60}$.

A bola de futebol clássica (icosaedro truncado): 12 pentágonos, 20 hexágonos e V − A + F = 2.

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