Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano.

A última memória

Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

$$\theta_1(\theta_2(x))=\theta_2(\theta_1(x)).$$

Abel provou que essas equações sempre se resolvem por radicais. Elas passaram a se chamar equações abelianas, e, mais tarde, os grupos em que a ordem não importa, grupos abelianos.

As raízes da unidade

O exemplo mais importante é a equação $x^n=1$. Uma das suas raízes é

$$\zeta=\cos\frac{2\pi}n+i\operatorname{sen}\frac{2\pi}n,$$

e todas as outras são potências dela: $\zeta^2,\zeta^3,\dots,\zeta^n=1$. As funções que levam uma raiz em outra são as potências, $\theta_a(x)=x^a$, e elas comutam:

$$\theta_a(\theta_b(x))=(x^b)^a=x^{ab}=(x^a)^b=\theta_b(\theta_a(x)).$$

Pelo teorema de Abel, $x^n=1$ se resolve por radicais para todo $n$. É a mesma estrutura que Gauss tinha usado para construir o polígono de 17 lados: os vértices do polígono são as raízes de $x^{17}=1$.

Grupos e comutatividade

Em linguagem moderna, um grupo é um conjunto de operações que se podem compor, desfazer e combinar, sempre ficando dentro do conjunto. O grupo é abeliano quando $a\circ b=b\circ a$ para quaisquer dois elementos.

Os exemplos abelianos estão por toda parte:

  • Os números inteiros com a soma: $3+5=5+3$.
  • As rotações de um círculo: girar $30°$ e depois $50°$ é o mesmo que girar $50°$ e depois $30°$.
  • A aritmética do relógio: num relógio de 12 horas, 9 horas mais 5 horas dão 2 horas. Escrevemos $9+5\equiv2\pmod{12}$, e a ordem das parcelas também não importa.

E há grupos que não são abelianos. As simetrias de um triângulo são o menor exemplo: girar o triângulo e depois refleti-lo não dá o mesmo que refletir e depois girar. O cubo mágico é outro: girar a face da frente e depois a de cima não tem o mesmo efeito que o contrário. Foi estudando grupos não abelianos que Galois explicou por que o quinto grau não tem fórmula.

Por que comutar ajuda

A intuição da prova de Abel é que, num grupo abeliano, as operações podem ser feitas uma de cada vez, em qualquer ordem, sem que uma estrague o trabalho da outra. Cada passo corresponde a extrair uma raiz, e as raízes podem ser extraídas em sequência. Num grupo não abeliano e complicado demais, como o das 120 permutações de cinco raízes, os passos se atrapalham, e não há como chegar ao fim só com radicais.

Exercício: na aritmética do relógio de 12 horas, resolva 7 + x ≡ 3. Depois resolva 5 · x ≡ 1.

Para a primeira, $x\equiv3-7=-4\equiv8$: de 7 horas, andando 8 horas, chega-se a 3 horas. Para a segunda, testamos: $5\cdot5=25=2\cdot12+1$, então $x\equiv5$. O número 5 é o seu próprio inverso no relógio.

Exercício: num quadrado, girar 90° e refletir na diagonal comutam?

Numere os cantos do quadrado 1, 2, 3, 4 no sentido anti-horário, a partir do canto de cima à direita, e use a diagonal que passa pelos cantos 1 e 3. Girando $90°$ no sentido anti-horário e depois refletindo, o canto 1 vai para a posição 2 e depois para a posição 4. Refletindo primeiro e depois girando, o canto 1 fica na posição 1 e depois vai para a posição 2. Os resultados são diferentes: as simetrias do quadrado não formam um grupo abeliano. Mas as quatro rotações sozinhas, de $0°$, $90°$, $180°$ e $270°$, comutam entre si e formam um grupo abeliano.

Fontes: Niels Henrik Abel, “Mémoire sur une classe particulière d’équations résolubles algébriquement”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 4 (1829) · Israel Kleiner, A History of Abstract Algebra (Birkhäuser, 2007) · biografia de Abel, MacTutor.

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