OBMEP 2021 - Primeira Fase

Vídeos Portal IMPA - Exercícios Sexto ano

OBMEP 2021 - Nível 3

Exercício 1:

As casinhas pretas do favo abaixo estão cheias de mel e as casinhas brancas estão vazias. Quantas casinhas vazias as abelhas ainda devem encher de mel para que o número de casinhas vazias fique igual ao número de casinhas com mel?

• (A) 1

• (B) 2

• (C) 3

• (D) 4

• (E) 5

  Resposta: B

• Total: 14 casinhas

• Objetivo: 7 brancas e 7 pretas.

• 2 casinhas brancas devem ficar pretas.

Exercício 2:

No dado, a soma dos números de duas faces opostas quaisquer é 7. Qual é a soma dos números das três faces que não estão visívies?

• (A) 10

• (B) 11

• (C) 12

• (D) 14

• (E) 15

  Resposta: E

• Faces não visíveis:

  • Número 6 (oposta ao 1)
  • Número 5 (oposta ao 2)
  • Número 4 (oposta ao 3)

• Objetivo: Soma dos números não visíveis.

  $$S=6+5+4=15$$

Exercício 3:

Qual dos números é maior que 0,37 e menor que 0,7?

• (A) 0,307

• (B) 0,073

• (C) 0,737

• (D) 0,377

• (E) 0,703

  Resposta: D

• Enunciado:

  • Menor valor: 0,37
  • Maior valor: 0,7

• Objetivo: Qual número entre 0,37 e 0,7.

Inicialmente, vale lembrar que:

Na notação matemática:

• < é o símbolo de menor que (se fizermos um corte no símbolo lembra o 4).
• > é o símbolo de maiorr que (se fizermos um corte no símbolo lembra o 7).

O próximo passo é ordernarmos os números.

Exercício 4:

Roberto colocou piso novo em sua garagem. Ele usou todos os ladrilhos brancos e pretos que comprou. Cada ladrilho branco custou R$ 5,00 e cada ladrilho preto custou R$ 2,00. Quanto ele gastou na compra dos ladrilhos?

• (A) R$ 85,00

• (B) R$ 88,00

• (C) R$ 145,00

• (D) R$ 150,00

• (E) R$ 175,00

  Resposta: B

• Enunciado:

  • ladrilho branco custou R$ 5,00
  • ladrilho preto custou R$ 2,00

• Objetivo: Quanto gastou na compra dos ladrilhos.

• ladrilho branco:

  • Custo R$ 5,00
  • Número de ladrilhos brancos: 6 $$\text{Ladrilho Branco} = LB = R\$ 5 \times 6 = R\$ ~ 30,00$$

• ladrilho preto:

  • Custo R$ 2,00
  • Número de ladrilhos brancos: 29 $$\text{Ladrilho Preto} = LP = R\$ 2 \times 29 = R\$ ~58,00$$

Exercício 5:

Uma papelaria vende lápis e canetas em estojos de 6 unidades. Se os preços por unidade não mudam, quanto custa um estojo de três lápis e duas canetas?

• (A) 20

• (B) 22

• (C) 23

• (D) 24

• (E) 30

  Resposta: C

• Enunciado:

  • Estojo com 6 canetas custa R$ 42,00
  • Estojo com 6 lápis custa R$ 18,00

• Objetivo: Quanto custa um estojo com 3 lápis e 2 canetas.

• Custo de cada lápis:

  • R$ 18,00 dividido por 6 = R$ 3,00

• Custo de cada caneta:

  • R$ 42,00 dividido por 6 = R$ 7,00

• Custo de 3 lápis:

  • R$ 3,00 multiplicado por 3 = R$ 9,00

• Custo de 2 canetas:
  • R$ 7,00 multiplicado por 2 = R$ 14,00

Portanto, o estojo com com 3 lápis e 2 canetas:

Exercício 6:

Margarida preencheu com os algarismos 1, 2, 3 e 4 as oito casas que estão vazias da tabela. Ela fez isso e notou que em nenhuma linha e em nenhuma coluna apareceram dois algarismos iguais. Qual é o produto dos números que apareceram nos quatro cantos da tabela?

• (A) 20

• (B) 22

• (C) 23

• (D) 24

• (E) 30

  Resposta: E

• Objetivo: Qual o produto dos números dos 4 cantos da tabela.

Solução 1: Algoritmo:

• Casa superior esquerda colocar o número 2, pois em volta dessa casa temos 1, 4 e 3.

• Casa superior direita colocar o número 3, pois os números anteriores a ele temos 2, 1 e 4.

• Os demais seguem esta ideia e estão compostas no preencimento a seguir:

Vale lembrar que produto de números é igual a multiplicação entre os números. Desta forma, temos:

Solução 2:

Os números em um sudoku não se repetem. Desta forma, a única opção dos cantos é 1,2,3,4.

Exercício 7:

Aberto cortou uma folha de papel em quadrados menores, sem deixar dobras. Ele cortou quatro quadrados de área igual a 400 cm² cada um, 9 quadrados de área 100 cm² cada um e 21 quadradinhos de área 25 cm² cada um. Qual era a medida do lado da folha, antes de Alberto cortá-la?

• (A) 25

• (B) 30

• (C) 40

• (D) 50

• (E) 55

  Resposta: E

• Enunciado:

  • Cortou 4 quadrados de área 400 cm²
  • Cortou 9 quadrados de área 100 cm²
  • Cortou 21 quadrados de área 25 cm²

• Objetivo: Qual a medida do lado da folha, antes de Alberto cortar.

• Cálculo de Áreas:

  • Cortou 4 quadrados de área 400 cm²

    $$A_1 = 4\text{ quadrados } \times 400 ~cm^2 = 1600 ~cm^2$$

  • Cortou 9 quadrados de área 100 cm²

    $$A_2 = 9\text{ quadrados } \times 100 ~cm^2 = 900 ~cm^2$$

  • Cortou 21 quadrados de área 25 cm²

    $$A_3 = 21\text{ quadrados } \times 25 ~cm^2 = 525 ~cm^2$$

  • Total:

    $$\text{Área total} = A_T = A_1 + A_2 + A_3 = 1600 + 900 + 525 = 3025 ~cm^2$$

Exercício 8:

Um jogo de dominó é formado por 28 peças retangulares diferentes, cada uma delas dividida em dois quadrados. Em cada um desses quadrados, aparecem de 0 a 6 bolinhas. Quantas peças possuem o número total de bolinhas igual ou maior a 7?

• (A) 9

• (B) 10

• (C) 12

• (D) 21

• (E) 24

  Resposta: C

• Enunciado:

  • 28 peças retangulares diferentes.
  • Cada uma divididas em 2 quadrados.
  • Em cada quadrado aparacem números de 0 a 6. O exemplo a seguir aparecem 4 e 1, respectivamente, nos quadrados.

• Objetivo: Quantas peças possuem o número total de bolinhas igual ou maior a 7.

  As combinações de bolinhas que possuem o número total de bolinhas igual ou maior a 7 são:

Exercício 9:

Patrícia tem cinco peças de cartolinas feitas de quadradinhos iguais: quatro com dois quadradinhos cada e uma com um único quadradinho. Ela montou com essas peças um quadrado e escreveu sobre elas as nove primeiras letras do alfabeto. Podemos afirmar com certeza que a letra correspondente à peça de um único quadradinho

• (A) é uma vogal

• (B) é a letra C

• (C) é a letra G

• (D) não é nenhuma das letras B, D, F ou H.

• (E) é uma das letras dos cantos do quadrado

  Resposta: D

• Enunciado:

  • 5 peças de cartolinas feitas de quadradinhos iguais:
    • 4 com 2 quadradinhos
    • 1 com 1 quadradinho

A combinação a seguir eliminas as respostas A, B, C e E

Para provar que pe a D, vamos supor por absurdo que a peça a ser coberta seja a B.

A única opção para possíveis peças duplas ao lado da peça B.

Resta preecher a próxima peça dupla. Podemos escolher (E, H), (G, H) ou (H, I). Vamos escolher sem perda de generalidade a (E, H).

Desta forma, é impossível cobrir com uma peça dupla as casas G e I. Da mesma forma, pode fazer o mesmo para D, F ou H.

Exercício 10:

Na figura vemos um quadrado grande dividido em 25 quadradinhos iguais. A área em cinza corresponde a que fração da área do quadrado grande.

• (A) 1/2

• (B) 1/3

• (C) 2/5

• (D) 3/5

• (E) 1/25

  Resposta: C

Basta fazer a transferência dos peços simétrios conforme figura:

Exercício 11:

Na comunidade de Quixajuba foi feita uma campanha de arrecadação para a reforma da quadra de esportes. O gráfico mostra quantas pessoas doaram um mesmo valor em reais. Por exemplo, 40 pessoas doaram 30 reais. Qual foi o total, em reais, de dinheiro arrecadado?

• (A) 4000

• (B) 5000

• (C) 5100

• (D) 6000

• (E) 6100

  Resposta: E

Exercício 12:

Uma competição de ginástica classifica somente a primeira e a segunda colocadas, da seguinte maneira: ou ambas podem ficar me primeiro lugar e nesse caso ninguém ocupa o segundo lugar. Uma outra delas fica em primeiro e outra em segundo. Almira, Betânia, Cecília, Dinorá e Esmeralda participam dessa competição. De quantas maneiras diferentes elas podem ser classificadas?

• (A) 5

• (B) 15

• (C) 20

• (D) 30

• (E) 120

  Resposta: D

• Enunciado:

  • 2 pessoas podem ficar me primeiro. Nenhuma fica em sugundo lugar.
  • 1 fica em primeiro e a outra em segundo lugar.
  • Competidoras:
    • A = Almira,
    • B = Betânia,
    • C = Cecília,
    • D = Dinorá,
    • E = Esmeralda. A primeira possibilidade é Almira com as demais:

Como a Almira já foi, vamos colocar a Belmira como ganhadora:

Como a Almira e Belmira já foram, vamos colocar a Cecília como ganhadora:

Como a Almira, Belmira e Cecília já foram, vamos colocar a Dinirá como ganhadora. Como a repetição não vale, tanto faz Dinorá como ganhadora ou Esmeralda como ganhadora:

Assim, temos (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE) como possibilidades de ganhar ou possibilidades de (primeiro, primeiro).

Agora a possibilidade de (primeiro, segundo) a repetição vale, ou seja, o dobro de (AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE)

Exercício 13:

Quais são os sinais que devemos colocar dentro do círculo e do quadrado, nesta ordem, para se obter uma igualdade correta?

• (A) = e x

• (B) x e =

• (C) = e +

• (D) + e =

• (E) = e -

  Resposta: E

• O caĺculo da A (Errado):

  $$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} \times \frac{3}{4}$$
  $$\frac{7}{12}\neq 1$$

• O caĺculo da B (Errado):

  $$\frac{7}{12}\times \frac{8}{6} = \frac{3}{4}$$
  $$\frac{7}{9}\neq \frac{3}{4}$$

• O caĺculo da C (Errado):

  $$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} + \frac{3}{4}$$
  $$\frac{7}{12}\neq \frac{25}{12}$$

• O caĺculo da D (Errado):

  $$\frac{7}{12}+ \frac{8}{6} = \frac{3}{4}$$
  $$\frac{23}{12}\neq \frac{3}{4}$$

• O caĺculo da E (Certo):

  $$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} - \frac{3}{4}$$
  $$\frac{7}{12}= \frac{8\times \color{red}{4} }{6\times \color{red}{4} } - \frac{3\times \color{red}{6} }{4\times \color{red}{6} }=\frac{32}{24} - \frac{18}{24} $$
  $$\frac{7}{12}= \frac{14}{24}= \frac{7 \times \color{red}{2} }{12 \times \color{red}{2} }$$

Exercício 14:

Alfredo inventa senhas da seguinte maneira:

• Ele escolhe uma sequência de 5 letras
• A seguir, ele troca as letras da sequência escolhida por números de dois algorismos, usando a tabela a seguir para codificar letras. A letra A é codificada como 05, a letra B como 06 e assim por diante até a letra Z que é codificada como 47.

Ao criar uma certa senha, os algarismos obtidos ficaram embaralhados, mas Alfredo anotou que eram 1, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8 e 8. É correto afirmar que nessa senha, entre as letras codificadas aparece.

• (A) a letra F

• (B) a letra G

• (C) a letra H

• (D) a letra L

• (E) a letra Z

  Resposta: E

Observe os textos a seguir:

• Uma letra não pode ser codificada por um número terminado em 4 (4 nas unidades).
• As letra iniciadas com 4 (4 nas dezenas) são X, Y e Z.
• Desta forma, Z aparece na senha de Alfredo.
• As outras letras são I e O.

Exercício 15:

Na semana passada, Tia Zulmira comprou 12 novelos de lã e 18 botões na loja de seu bairro. Sua compra ficou em 36 reais ao todo. Hoje ela retornou à loja e viu que os novelos estavam em promoção e que os botões ainda estavam com o mesmo preço. Ela aproveitou e comprou 36 novelos e 54 botões, gastando um total de 72 reais. Qual foi o desconto que a loja deu em cada novelo?

• (A) R$ 0,25

• (B) R$ 0,50

• (C) R$ 0,75

• (D) R$ 1,00

• (E) R$ 1,25

  Resposta: D

• Enunciado:

  • Dia 1 comprou:
    • 12 novelos de lã
    • 18 botões
    • Total gasto 36 reais
  • Dia 2 comprou:
    • 36 novelos de lã
    • 54 botões
    • Total gasto 72 reais

Note que:

• Dia 2 comprou:
  • 36 novelos de lã = 3 x 12 novelos de lã
  • 54 botões = 3 x 18 botões
  • Total gasto 72 reais
• Preço sem desconto na segunda compra seria o triplo da primeira compra:
  • 3 x 36 = 108
• Difernaça com o total pago:
  • 108 - 72 = 36 reais
• Como foi comprado 36 novelos na segunda compra e o desconto foi de 36 reais.
  • Desconto de 36 dividido por 36 que 1 real por novelo de desconto.

Exercício 16:

Alguns marcianos têm 7 antenas em suas cabeças e outros têm 9 antenas. Em um disco voador com tripulação marciana, a quantidade total de antenas nas cabeças é 69. Podemos afirmar que nesse disco voador há exatamente.

• (A) 6 marcianos

• (B) 9 marcianos

• (C) 10 marcianos

• (D) 11 marcianos

• (E) 12 marcianos

  Resposta: B

A soma dos marcianos com 7 antenas e marcianos com 9 antenas é dada por:

O próximo passo é decompor o 69:

Desta forma, temos que

• a soma dos marcianos é múltiplo de 3.
• o zero não pode estar nos conjuntos.
• e vamos descartar m2 vezes 9, pois dá 81 que é maior que 69

Para entendermos, vamos construir as combinações:

Portanto,

Exercício 17:

João tem 3 lápis nas cores amarelo, bege e cinza. Ele quer pintar o desenho abaixo de modo que polígonos com um lado em comum não tenham a mesma cor. De quantas maneiras diferentes ele pode pintar o desenho?

• (A) 6

• (B) 12

• (C) 18

• (D) 24

• (E) 36

  Resposta: C

• Caso 1:

• Supomos 3 possibilidades para pintar I.
• Com isso, temos 1 possibilidade para pintar III, que é a mesma de I.
• 2 possibilidades para II, pois terão que ter cores diferentes da I e III.
• 2 possibilidades para IV, pois terão que ter cores diferentes da I e III.

Logo,

• Caso 2:

• Supomos 3 possibilidades para pintar I.
• Com isso, temos 2 possibilidades para pintar III, que são diferentes de I.
• 1 possibilidade para II, pois é a cor que resta.
• 1 possibilidade para IV, pois é a cor que resta.

Logo,

Portanto, temos um total de:

Exercício 18:

O retângulo PQRS tem perímetro de 76 cm e foi dividido em nove retângulos menores, indicados na fugura pelas letras A até I. Sabendo que os perímetros dos retângulos B, D, F e H são respectivamente 22, 18, 32 e 26 cm, qual é perímetro da região E?

• (A) 16 cm

• (B) 20 cm

• (C) 22 cm

• (D) 24 cm

• (E) 26 cm

  Resposta: C Por simetria, podemos notar que:

Neste caso, vamos mostrar geometricamente um dos perímetros dos retângulos.

De forma análoga:

Em resumo:

Ao somarmos os 2 lados: $$$$