Há aproximadamente 2300 anos atrás Eudoxo, Arquimedes e outros incentivaram a área do círculo através do método da exaustão, que consiste em circunscrever e inscrever polígonos regulares na figura que se pretende avaliar a área.

Área do círculo - Método Grego

Inicialmente, vamos definir a área de uma região quadrada.

Definição: A área de uma região quadrada de lado $a$ é $a^2$.

fig

Os gregos verificaram que toda região poligonal pode ser inscrita em um quadrado através de um número finito de operações com régua e compasso.

Gauss mais tarde ficou encantado com a ideia dos gregos e então estudou a quadratura de regiões não poligonais. Eles dedicou boa parte de sua vida em estudos da quadratura em um disco.

Os gregos como Hipócrates descobriu como quadrar lúnulas, que são partes de um disco delimitadas por outro disco. Vejamos a seguir a técnica usada por gregos e mais tarde por Gauss no estudo das integrais.

$n$ $A_n$
$4$ $2.0000 R^2$
$8$ $2.8484 R^2$
$16$ $3.06414 R^2$
$32$ $3.1214 R^2$
$64$ $3.1363 R^2$
$128$ $3.1411 R^2$
$256$ $3.1411 R^2$
$\vdots$ $\vdots$
$\infty$ $\pi R^2$
Discretização do pi

Conclusão

Os gregos concluíram que a área do círculo segundo Euclides estava compreendida entre os valores:

$$3.1411\dots R^2 $$

$$3.1418\dots R^2 $$

A representação da constante 3.14… pelo símbolo famosíssimo da história da matemática, é uma das constante mais importantes da matemática.

Triângulo Retângulo.

Este símbolo foi criado em 1706 por William Jones, que foi inspirado na origem grega, egípcia e babilônica desse número. Basicamente uma viga sobre duas colunas.

Manuscrito Babilônico Manuscrito Egípcio

Área do círculo - Método Egípcio

Triângulo Retângulo.
Corte no Papiro Abertura do Papiro

Área do círculo - Método Indiano

Método Indiano.

Área do círculo - Método Japonês

Método Indiano.

Área do círculo - Método Chinês

Método Indiano.