Exercícios do capítulo 15 — Triângulos quaisquer

Sabendo que $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ e $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$, determine: a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo nos casos:

Obtenha o valor de $x$ nos casos: a) $ABCD$ é paralelogramo; b) $ABCD$ é trapézio isósceles.

Determine o ângulo $x$ nos casos:

Num triângulo $ABC$ são dados $\hat A = 60^{\circ}$, $\hat B = 45^{\circ}$ e $BC = 4$ cm. Determine a medida de $\overline{AC}$.

Num triângulo obtusângulo e isósceles, os ângulos da base medem 30° cada um. Determine a base do triângulo, sabendo que os lados congruentes medem 10 cm cada um.

O triângulo $ABC$ é obtusângulo com $\hat A = 120^{\circ}$, $BC = 2\sqrt{3}$ dm e $AC = 2$ dm. Determine a medida do ângulo do vértice $B$ desse triângulo.

Se os lados de um triângulo $ABC$ medem $a$, $b$ e $c$, prove que

em que $A$ e $B$ são os ângulos dos vértices $A$ e $B$ do triângulo e $a$, $b$ e $c$ os lados opostos respectivamente aos vértices $A$, $B$ e $C$.

No mesmo exercício anterior, prove que $\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{\operatorname{sen}A - \operatorname{sen}B}{\operatorname{sen}B}$.

Sejam $a$, $b$ e $c$ os lados opostos aos vértices $A$, $B$ e $C$ de um triângulo $ABC$. Prove que $\dfrac{\operatorname{sen}A + \operatorname{sen}B}{\operatorname{sen}C} = \dfrac{a + b}{c}$.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine $x$ e $y$ nos casos:

Calcule a altura $h$, relativa ao lado $\overline{BC}$, nos casos:

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine a medida $x$ do ângulo nos casos:

Se as diagonais do paralelogramo da figura medem 20 cm e 32 cm e formam um ângulo de 60°, determine os lados do paralelogramo.

Reconheça a natureza de um triângulo: a) cujos lados medem 6, 12 e 13; b) cujos lados medem 6, 10 e 12; c) cujos lados medem 5, 12 e 13; d) cujos lados estão na razão 3 : 4 : 4,5; e) cujos lados são inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.

Reconheça a natureza de um triângulo cujos lados são inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 5.

Os lados de um triângulo medem 15 m, 20 m e 25 m. Determine a altura relativa ao maior lado.

Os lados de um triângulo medem 12 m, 20 m e 28 m. Determine a projeção do menor sobre a reta do lado de 20 m.

Os lados de um triângulo medem 7 m, 24 m e 25 m. Determine a altura relativa ao lado menor.

Determine o lado $\overline{BC}$ de um triângulo acutângulo $ABC$, em que $AC = 7$ cm, $AB = 5$ cm e a projeção de $\overline{AC}$ sobre $\overline{AB}$ mede 1 cm.

Determine a medida do lado $\overline{AB}$ de um triângulo $ABC$, obtusângulo em $A$, sendo $BC = 8$ cm, $AC = 5$ cm e a projeção do lado $\overline{AB}$ sobre $\overline{AC}$ igual a 3 mm.

Determine a medida do lado $\overline{BC}$ de um triângulo $ABC$, em que $AC = 10$ cm, $AB = 6$ cm e a projeção do lado $\overline{BC}$ sobre $\overline{AC}$ vale 10,4 cm.

A base de um triângulo mede 10 cm e os outros dois lados, 14 cm e 8 cm, respectivamente. Determine as projeções desses dois lados sobre a base do triângulo.

Determine a projeção do lado $\overline{BC}$ sobre o lado $\overline{AC}$ de um triângulo $ABC$, em que $BC = 12$ cm, $AC = 16$ cm e $AB = 18$ cm.

Em um triângulo $ABC$ é possível ter simultaneamente $a^2 = b^2 + c^2 + 2bm$ e $c^2 = b^2 + a^2 + 2bn$, sendo $m$ a projeção de $c$ sobre $b$ e $n$ a projeção de $a$ sobre $b$? Justifique.

Na figura, calcule o valor de $x$.

No triângulo $ABC$ da figura, o lado $\overline{AB}$ mede 12 cm, o lado $\overline{BC}$ mede 9 cm e o lado $\overline{AC}$ mede 6 cm. Calcule o cosseno do ângulo $\alpha$.

Calcule o perímetro do triângulo da figura.

Calcule o perímetro do triângulo $ABC$ da figura.

Determine o valor de $x$, sabendo que $x + 5$, $3 - x$ e $x + 7$ são as medidas dos lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$ de um triângulo $ABC$ cujo ângulo $\hat B$ vale 120°.

Uma corda $\overline{AB}$ de medida $\ell$ determina sobre uma circunferência um arco de 120°. Determine a distância do ponto $B$ ao diâmetro $\overline{AC}$ desse círculo.

Na figura, $\overline{AB}$ é igual ao raio do círculo de centro $O$, $BC = 26$ e $\overline{BH}$ é perpendicular a $\overline{AC}$. Calcule $HC$.

Determine a diagonal maior de um paralelogramo, em que dois de seus lados consecutivos formam um ângulo de 45° e medem, respectivamente, $5\sqrt{2}$ cm e 10 cm.

Sabendo que os lados consecutivos de um paralelogramo medem 4 cm e 5 cm e uma das diagonais mede 6 cm, determine a medida da outra diagonal.

Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 m e 12 m e formam um ângulo de 60°. Calcule as diagonais.

A mediana $\overline{AM}$ de um triângulo $ABC$ mede 6 cm, divide o lado oposto em dois segmentos iguais a 12 cm e forma com esse lado dois ângulos que diferem de 60°. Determine as medidas dos lados desse triângulo.

Existe o triângulo $ABC$ tal que $BC = 10$ cm, $AC = 1$ cm e $\beta = 30^{\circ}$, em que $\beta$ é o ângulo oposto ao lado $\overline{AC}$?

Dois lados consecutivos de um paralelogramo têm por medidas $a$ e $b$ e uma das diagonais tem por medida $c$. Determine a medida da outra diagonal.

Prove que: “Num triângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele”.

Prove que: “Em um triângulo obtusângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados dos outros dois, mais duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele”.

Se, em um triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o produto desses dois lados, calcule o ângulo interno que os mesmos dois lados formam.

Sobre os lados de um triângulo $ABC$ retângulo de lados 6 cm, $6\sqrt{3}$ cm e 12 cm construímos três quadrados externos. Calcule a medida dos lados do triângulo determinado pelos centros desses quadrados.

As medidas dos lados do quadrilátero $ABCD$ são $AB = BC = 10$ m, $CD = 16$ m e $AD = 6$ m. Determine $BD$.

Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5 cm, 7 cm e 8 cm dos vértices do triângulo. Determine o lado desse triângulo.

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1. Considere um ponto $Q$ externo ao triângulo com $BQ = 5$ e $CQ = 7$. Note que $\triangle PBA \equiv \triangle QBC$ (LLL), donde se obtém $P\hat BQ = 60^{\circ}$. Então o $\triangle PBQ$ é equilátero e $B\hat PQ = 60^{\circ}$ ($\alpha = 60^{\circ}$).
2. Aplique a lei dos cossenos no $\triangle PQC$ (lados 5, 7 e 8): obtém-se $\beta = 60^{\circ}$.
3. Com $\alpha = 60^{\circ}$ e $\beta = 60^{\circ}$, $B\hat PC = 120^{\circ}$. Aplicando a lei dos cossenos no $\triangle BPC$: $x^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 120^{\circ} = 129$, ou seja, $x = \sqrt{129}$ cm.

Determine a medida da mediana $\overline{AM}$ do triângulo $ABC$, aplicando a fórmula da mediana, e depois calcule usando a relação de Stewart.

Determine a medida da bissetriz $\overline{AS}$, aplicando a fórmula da bissetriz interna, e depois calcule usando o teorema da bissetriz e a relação de Stewart.

Determine a medida da bissetriz externa $\overline{AP}$ do $\triangle ABC$, aplicando a fórmula da bissetriz, e depois calcule usando o teorema da bissetriz e a relação de Stewart.

Determine o valor de $x$ nos casos:

Determine a razão entre a soma dos quadrados das medianas de um triângulo e a soma dos quadrados dos lados desse triângulo.

Calcule as alturas de um triângulo cujos lados medem 6 m, 10 m e 12 m.

Os lados $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ de um triângulo $ABC$ medem, respectivamente, 5 cm, 6 cm e 7 cm. Determine a altura e a bissetriz interna relativas ao lado $\overline{AC}$ e a bissetriz externa relativa ao lado $\overline{AB}$.

Dados os lados $a$, $b$ e $c$ de um triângulo $ABC$, calcule a distância do vértice $A$ ao ponto $M$ que divide a base $\overline{BC}$ em segmentos iguais a $m$ e $n$.

Se $\overline{AS}$ é bissetriz interna do triângulo $ABC$, determine $x$ e $y$.

Se $\overline{AP}$ é bissetriz externa do triângulo $ABC$, determine $x$ e $y$.

Deduza as fórmulas que dão as três medianas $m_a$, $m_b$ e $m_c$ de um triângulo, em função dos lados $a$, $b$ e $c$.

Deduza as fórmulas que dão as três alturas $h_a$, $h_b$ e $h_c$ de um triângulo em função dos lados $a$, $b$ e $c$.

Deduza as expressões que fornecem as bissetrizes internas $s_a$, $s_b$ e $s_c$ de um triângulo em função dos lados $a$, $b$ e $c$.

Dados os três lados $a$, $b$ e $c$ de um triângulo, obtenha $s^{\prime}_a$, $s^{\prime}_b$ e $s^{\prime}_c$, deduzindo as fórmulas que fornecem as bissetrizes externas.