Quando Sophie Germain escreveu a Gauss em 1804, os dois falavam uma língua que tinha acabado de nascer. Três anos antes, nas Investigações aritméticas, Gauss tinha introduzido um sinal novo, $\equiv$, e uma maneira nova de pensar os números inteiros: não pelo que eles são, mas pelo resto que deixam numa divisão. Tudo o que Sophie fez depois sobre Fermat foi escrito nessa língua. Vale a pena aprendê-la.

A aritmética do relógio

Se agora são 9 horas, que horas serão daqui a 5 horas? Ninguém responde 14 num relógio de ponteiros: responde 2. O relógio só guarda o resto da divisão por 12. Gauss escreveu isso assim:

$$14\equiv2\pmod{12},$$

que se lê “14 é congruente a 2 módulo 12”. Em geral, $a\equiv b\pmod m$ quer dizer que $a$ e $b$ deixam o mesmo resto na divisão por $m$, ou seja, que $a-b$ é múltiplo de $m$.

A grande vantagem é que as congruências se somam e se multiplicam como igualdades. Se $a\equiv b$ e $c\equiv d\pmod m$, então

$$a+c\equiv b+d\qquad\text{e}\qquad a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod m.$$

Isso permite trocar números enormes por restos pequenos no meio da conta. Por exemplo, qual é o último algarismo de $7^{100}$? O último algarismo é o resto por 10. As potências de 7 terminam em $7, 9, 3, 1$ e depois repetem, porque $7^4=2401\equiv1\pmod{10}$. Então

$$7^{100}=\left(7^4\right)^{25}\equiv1^{25}=1\pmod{10}.$$

O número $7^{100}$ tem 85 algarismos, e sabemos o último sem calcular nenhum dos outros.

Potências e restos

O assunto preferido de Gauss, e depois de Sophie, eram as potências módulo um número primo. Pegue o primo $p=7$ e eleve cada número ao cubo, guardando só o resto por 7:

$x$ 0 1 2 3 4 5 6
$x^3 \bmod 7$ 0 1 1 6 1 6 6

Só aparecem três restos: $0$, $1$ e $6$, isto é, $0$ e $\pm1$, porque $6\equiv-1\pmod7$. Os cubos, vistos pelo relógio de 7 horas, são muito pobres. Essa pobreza é exatamente o que Sophie Germain usou no seu teorema sobre Fermat.

Por que isso acontece? Pelo pequeno teorema de Fermat, se $x$ não é múltiplo de 7, então $x^6\equiv1\pmod 7$. Mas $x^6=(x^3)^2$. Então $x^3$ é um número cujo quadrado é 1, e módulo um primo os únicos assim são $1$ e $-1$. O mesmo argumento vale sempre que $2p+1$ é primo: as potências $p$-ésimas módulo $2p+1$ só podem ser $0$, $1$ ou $-1$.

O que havia nas cartas

Nas primeiras cartas, Monsieur Le Blanc enviou a Gauss novas demonstrações de resultados das Investigações e algumas generalizações. Gauss respondeu encantado por ter encontrado um leitor capaz de ir além dele. Quando descobriu quem era o leitor, a admiração só cresceu. Na carta de 1807, Gauss lhe conta, como um presente, alguns resultados novos sobre restos de potências, ainda inéditos.

Exercício: qual é o resto de 2¹⁰ na divisão por 11?

$2^5=32=2\cdot11+10$, então $2^5\equiv10\equiv-1\pmod{11}$. Logo $2^{10}=\left(2^5\right)^2\equiv(-1)^2=1\pmod{11}$. Confere com o pequeno teorema de Fermat: $2^{11-1}\equiv1\pmod{11}$.

Exercício: quais restos as quintas potências deixam na divisão por 11?

Como $11=2\cdot5+1$ é primo, o argumento do texto diz que só podem aparecer $0$, $1$ e $-1\equiv10$. Conferindo alguns: $2^5=32\equiv10$, $3^5=243=22\cdot11+1\equiv1$, $4^5=1024=93\cdot11+1\equiv1$. Os onze números de $0$ a $10$ dão, ao todo, só os restos $0$, $1$ e $10$.

Fontes: Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae (1801), artigos 1 e 2 · biografia de Sophie Germain, MacTutor · Andrea Del Centina e Alessandra Fiocca, “The correspondence between Sophie Germain and Carl Friedrich Gauss”, Archive for History of Exact Sciences (2012).

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