Neste post vamos abordar o que são axiomas e postulados. Para em seguida falarmos de demonstração de resultados. Este princípio é fundamental para o desenvolvimento de novas matemáticas.

De forma simples podemos entender como uma sequência de afirmações, em cada uma delas é consequência das anteriores ou algo que sabemos que é verdade. Como construir algo como consequência de outra(s)?

Suponhamos que B é uma consequência de afirmações anteriores. Das afirmações anteriores, existe uma afirmação A. Desta forma temos:

$$A \rightarrow B$$
graph LR; A[ A - afirmação ] -->|Implica| B(B - consequência) B --> C{Decisão} C -->|A Implica B| D[B - Resultado]

Relações transitivas

Uma relação transitiva é quando temos uma relação:

$$A \rightarrow B \quad \text{e} \quad B \rightarrow C \qquad \text{implicam} \qquad A \rightarrow C$$

O objetivo é mostrar que toda vez que $A$ ocorre, ocorre $C,$ desde que valem $A \rightarrow B$ tanto como $B \rightarrow C.$

Suponhamos que vale $A$, $A \rightarrow B$ e $B \rightarrow C$. O que queremos mostrar é que vale $A \rightarrow C$. Disto obtemos que:

  • Como $A$, $A \rightarrow B$ valem, temos que $B$ vale.
  • A seguir temos que como $B$, $B \rightarrow C$ valem, temos que $C$ vale.
  • Desta forma, temos que $A \rightarrow C$ vale.

Como dito anteriormente em outros posts, se a suposição não for verdadeira, o resultado pode ser enganoso.

Neste mundo de opiniões, o que é verdadeiro para uns, pode não ser verdade para outros. Com isso, temos que ser extremamente precisos com a suposição de verdadeiro ou não.

Tautologias

Na matemática, podemos supor verdades tudo que for logicamente verdadeiro, que é uma tautologia.

Definição: Uma proposição que é verdadeira em todas as possibilidades lógicas é dita uma Tautologia.

Definição: Se esta proposição é falsa para todas as possibilidades lógicas, ela é dita uma Contradição.

No post tabela verdade vimos as proposições $p$ e $\sim p.$

Com isso, notamos que se $p$ é uma tautologia, então $\sim p$ é uma contradição ou vice versa.

Exemplo: Para toda proposição $p$, a proposição $p \vee\sim p$ é uma tautologia e $p \wedge\sim p$ é uma contradição.

De fato, basta observar a tabela verdade:

$p$ $\sim p$ $p \vee\sim p$ $p \wedge\sim p$
V F V F
F V V F

Equivalência lógicas

Em matemática, equivalência é semelhante a “igualdade”, porém mais genéricamente, nem sempre isso é verdade. Se dois conjuntos de equações tiverem as mesmas soluções, consideramos equivalentes, mas não necessariamente são iguais.

Gêmeos Triângulos Equivalentes

Quando necessitamos usar as tautologias, precisamos usar as equivalências lógicas. A seguir vamos definir alguns termos:

Definição: Duas proposições são ditas logicamente equivalentes, se elas têm a mesma tabela verdade.

Equivalentemente têm o mesmo valor verdade para cada uma das possibilidades lógicas.

Exemplo: As proposições $\sim (p \vee q)$, a $\sim p \wedge \sim q $ são logicamente equivalentes.

De fato, basta observar a tabela verdade:

$p$ $q$ $p \vee q$ $\sim (p \vee q)$ $\sim p$ $\sim q$ $\sim p \wedge \sim q $
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V

Muitos que estão lendo este post vão falar. What? O que significa isso? O que é essa equivalência lógica?

Suponha que a primeira pessoa diga as proposições.

$$x-x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad 2 x + x \neq 4x$$

Em seguida venha outra pessoa e diga:

  • Não é verdade que ou $$x-x= 0 \qquad \text{ou} \qquad 2 x + x = 4x$$

Neste caso as duas pessoas estão dizendo a mesma coisa, ou seja:

  • Ambas estão certas ou
  • Ambas estão erradas.
  • Neste caso, a suposição da segunda pessoa é igual a da primeira (linha 2 da tabela verdade).

Portanto, as proposições $p$ e $q$ são logicamente equivalentes, então $p \leftrightarrow q$ é uma tautologia. Reciprocamente, $p \leftrightarrow q$ é uma tautologia, então $p$ e $q$ são logicamente equivalentes.

As equivalências lógicas são muito úteis para demonstrações, pois se duas proposições são logicamente equivalentes, elas são a “mesma” do ponto de vista lógico.

Suponha:

  • Duas proposições $p$ e $q$ e estas são logicamente equivalentes.
  • Se necessitamos demonstrar $p$ e temos uma maneira mais simples ou mais fácil de demonstrarmos $q$.
  • Então podemos demonstrar $p$ provando $q$.

Condicional, Contra positiva e Recíproca

Alguns termos são muito importantes para demonstração de resultados. O que é condicional?

Definição: A condicional é a operação realizada quando na proposição ao utilizarmos o conectivo:

  • se…
  • então…

Em computação, o conceito de condicional é muito utilizado.

Para representar esse operador usamos o símbolo $\rightarrow$. Assim,

  • $p \rightarrow q$ significa “se p, então q”.

Desta forma, obtemos as seguintes definições:

Definição: Se $p \rightarrow q$ é uma condicional, então $\sim q \rightarrow \sim p$ é dita condicional contra positiva.

Esta definição é uma equivalência lógica. Assim, se $p \rightarrow q$ é uma condicional e o objetivo é demonstrarmos este resultado, basta demonstrar a contra positiva da seguinte forma:

  • nega a tese $q$
  • isto implica em uma não hipótese $p$ (que chamamos de absurdo).

Coloquialmente, na matemática chamamos de prova por absurdo.

Da mesma forma, podemos definir:

Definição:

  • Se $q \rightarrow p$ é dita uma condicional recíproca.
  • Desta forma, $\sim q \rightarrow \sim p$ é dita condicional inversa.

Axiomas e Postulados

Na Grécia antiga matemáticos como Euclides usavam muito os conceitos de axiomas e postulados.

Os axiomas e postulados são fatos aceitos sem uma demonstração. Mais especificamente, não temos como provar resultados, cujos esses fatos são aceitos sem uma demonstração. Tudo se inicia com o axioma, pois ela é o ponto de partida do raciocínio.

No caso de um axioma é uma afirmação que vamos supor verdadeira. O uso dos axiomas em geral:

  • Queremos definir um determinado assunto
  • Dizemos quais os axiomas que isso satisfaz
  • Com isso, deduzimos tudo o que podemos a partir de tais axiomas.
  • Ou seja, tudo aquilo que satisfizaz tais axiomas, vai satisfazer suas consequências também.

Exemplos de Axiomas e Postulados

Como dito antes a Grécia antiga usavam muito o conceito de axiomas. A seguir, vamos listar alguns exemplos de axiomas:

Postulado de Euclides: através de um ponto fora de uma reta passa uma, e somente uma, reta a qual é paralela à reta dada.

  • Na reta (e também fora dela) existem infinitos pontos;
  • Dois pontos distintos determinam uma, e somente uma, reta;
  • Três pontos que não são colineares determinam um único plano;
  • A menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que une estes dois pontos;

Este último postulado causou muita confusão na idade média. A partir disto, uma crendice popular foi criada:

  • Em um plano inclinado ao jogarmos um bola neste plano inclinado. O menor tempo percorrido é por uma reta;

Este postulado hoje em dia não é verdade. O menor tempo é percorrido é obtido pela Braquistócrona. Este resultado foi demonstrado Johann Bernoulli, e saiu da condição de axioma ou postulado. a seguir monstramos um gif obtido do wikipedia.

A conclusão é que temos que evoluir mais um pouco. Não basta acreditarmos apenas nos axiomas ou postulados. A matemática depende muito de resultados, como dito antes é igual a São Tomé, é ver para crer. Nos próximos posts vamos abordar sobre como demonstrarmos um resultado.