Exercícios do capítulo VIII — Inequações

A imagem de $x$ deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre as retas $r$ ($v = 0$) e $s$ ($v = \frac{\sqrt{3}}{2}$), incluída $r$ e excluída $s$:

$|\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{3}}{2} \iff \operatorname{sen} x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\operatorname{sen} x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$. A imagem de $x$ deve ficar na interseção do ciclo com o semiplano abaixo de $r$ ($v = -\frac{\sqrt{3}}{2}$) ou com o semiplano acima de $s$ ($v = \frac{\sqrt{3}}{2}$):

o que se resume em $\frac{\pi}{3} + k\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} + k\pi$.

$2\operatorname{sen}^2 x < \operatorname{sen} x \iff 2\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x < 0 \iff \operatorname{sen} x\,(2\operatorname{sen} x - 1) < 0 \iff 0 < \operatorname{sen} x < \frac{1}{2}$.

Examinando o ciclo trigonométrico:

Fazendo $2x = y$, temos a inequação $\operatorname{sen} y > 0$. Examinando o ciclo, $2k\pi < y < \pi + 2k\pi$. Como $x = \frac{y}{2}$, resulta

Mas $x \in [0, 2\pi]$; então só interessam as soluções com $k = 0$ ou $k = 1$:

• $k = 0$: $0 < x < \frac{\pi}{2}$;
• $k = 1$: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

A imagem de $x$ deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre as retas $s$ ($u = -\frac{3}{2}$) e $r$ ($u = 0$). Como a reta $s$ nem toca o ciclo, a condição $\cos x \ge -\frac{3}{2}$ vale sempre, e resta $\cos x \le 0$:

Examinando o ciclo trigonométrico:

Transformando a soma em produto:

Fazendo $x - \frac{\pi}{4} = y$, temos $\cos y \ge \frac{1}{2}$; examinando o ciclo, $2k\pi \le y \le \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $\frac{5\pi}{3} + 2k\pi \le y < 2\pi + 2k\pi$. Como $x = y + \frac{\pi}{4}$:

isto é, numa forma mais compacta, $-\frac{\pi}{12} + 2k\pi \le x \le \frac{7\pi}{12} + 2k\pi$.

Fazendo $3x = y$, temos $\cos y \le \frac{1}{2}$; examinando o ciclo, $\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le y \le \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$. Como $x = \frac{y}{3}$:

Para $x \in [0, 2\pi]$ só interessam $k = 0$, $1$ ou $2$:

• $k = 0$: $\frac{\pi}{9} \le x \le \frac{5\pi}{9}$;
• $k = 1$: $\frac{7\pi}{9} \le x \le \frac{11\pi}{9}$;
• $k = 2$: $\frac{13\pi}{9} \le x \le \frac{17\pi}{9}$.

I) Fazendo $\cos x = y$ e lembrando que $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

II) O numerador $2y^2 - y - 1 = (2y + 1)(y - 1)$ se anula em $-\frac{1}{2}$ e $1$; o denominador, em $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Quadro de sinais:

O quociente é $\ge 0$ para $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $-\frac{1}{2} \le y < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $y \ge 1$.

III) Examinando o ciclo, para $0 \le x \le 2\pi$:

• $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \iff \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$;
• $-\frac{1}{2} \le \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \frac{\pi}{4} < x \le \frac{2\pi}{3}$ ou $\frac{4\pi}{3} \le x < \frac{7\pi}{4}$;
• $\cos x \ge 1 \iff x = 0$ ou $x = 2\pi$.

Portanto $S = \left\{x \;\middle|\; x = 0 \text{ ou } \frac{\pi}{4} < x \le \frac{2\pi}{3} \text{ ou } \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4} \text{ ou } \frac{4\pi}{3} \le x < \frac{7\pi}{4} \text{ ou } x = 2\pi\right\}$.

I) Devemos ter $\dfrac{\cos 2x}{\cos x} \ge 0$.

II) Fazendo $\cos x = y$: $\dfrac{\cos 2x}{\cos x} \ge 0 \iff \dfrac{2y^2 - 1}{y} \ge 0$.

III) Quadro de sinais:

O quociente é $\ge 0$ para $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le y < 0$ ou $y \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

IV) Examinando o ciclo:

• $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x < 0 \iff \frac{\pi}{2} + 2k\pi < x \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ ou $\frac{5\pi}{4} + 2k\pi \le x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$;
• $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $\frac{7\pi}{4} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$.

O domínio é a reunião desses intervalos.

a) Se $\cos\alpha = 0$ a equação fica $-1 = 0$: sem solução. Se $\cos\alpha \ne 0$, o discriminante é

Então $-\frac{\sqrt{3}}{2} \le \cos\alpha \le \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\alpha \ne 0$: $\frac{\pi}{6} \le \alpha \le \frac{5\pi}{6}$, $\alpha \ne \frac{\pi}{2}$.

b) Para as duas raízes serem negativas: soma $\frac{2}{\cos\alpha} < 0$ e produto $\frac{4\cos^2\alpha - 1}{2\cos^2\alpha} > 0$, isto é, $\cos\alpha < -\frac{1}{2}$. Com a condição de (a): $-\frac{\sqrt{3}}{2} \le \cos\alpha < -\frac{1}{2}$, ou seja, $\frac{2\pi}{3} < \alpha \le \frac{5\pi}{6}$.

A base deve satisfazer $0 < \cos x < 1$. Somando os logaritmos, a desigualdade fica $\log_{\cos x}\big[(1 + 2\cos x)(1 + \cos x)\big] > 1 = \log_{\cos x}\cos x$. Como a base está entre 0 e 1, o logaritmo é decrescente, e a desigualdade equivale a

o que nunca acontece (o discriminante do trinômio é $4 - 8 < 0$). Logo $S = \varnothing$.

O gabarito impresso dá $\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$ ou $\frac{3\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{3}$; mas, por exemplo, para $\cos x = \frac{1}{4}$ o primeiro membro vale $\log_{1/4}\frac{15}{8} < 0$, e a desigualdade é falsa.

$|\operatorname{tg} x| \le 1 \iff -1 \le \operatorname{tg} x \le 1$. A imagem de $x$ deve ficar na interseção do ciclo com o ângulo $r\hat{O}s$ formado pelas retas $r = OT_1$ ($T_1$ de ordenada 1 no eixo das tangentes) e $s = OT_2$ ($T_2$ de ordenada $-1$):

o que se resume em $-\frac{\pi}{4} + k\pi \le x \le \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Fazendo $2x = y$, temos $1 \le \operatorname{tg} y < \sqrt{3}$; examinando o ciclo, $\frac{\pi}{4} + k\pi \le y < \frac{\pi}{3} + k\pi$. Como $x = \frac{y}{2}$:

Para $x \in [0, 2\pi]$ interessam $k = 0, 1, 2, 3$:

• $k = 0$: $\frac{\pi}{8} \le x < \frac{\pi}{6}$;
• $k = 1$: $\frac{5\pi}{8} \le x < \frac{2\pi}{3}$;
• $k = 2$: $\frac{9\pi}{8} \le x < \frac{7\pi}{6}$;
• $k = 3$: $\frac{13\pi}{8} \le x < \frac{5\pi}{3}$.