Euler's Eyes
2026-10-11
Ângulo de segmento (semi-inscrito)
O ângulo entre uma corda e a tangente também mede a metade do arco. Daí vem o arco capaz, usado por navegadores para fugir de rochedos.
Quem descobriu
A medida do ângulo de segmento é a proposição III.32 dos Elementos de Euclides, e a construção do arco capaz — o lugar dos pontos de onde um segmento é visto sob um ângulo dado — é a III.33. O uso prático mais conhecido tem dois nomes: o holandês Willebrord Snellius (1617) e o francês Laurent Pothenot (1692) resolveram o problema de descobrir a própria posição a partir dos ângulos sob os quais se veem três pontos conhecidos, cruzando dois arcos capazes.
A história
O problema de Snellius-Pothenot foi a base da cartografia por triangulação. Snellius o usou para medir a distância entre cidades holandesas e estimar o tamanho da Terra; topógrafos e marinheiros o aplicaram por mais de três séculos, até a chegada do GPS.
Os navegadores criaram uma técnica chamada ângulo de perigo: traça-se na carta um arco capaz que passa por dois faróis e contorna as pedras. Medindo com o sextante o ângulo entre os faróis, o comandante sabe se está dentro ou fora do arco — e, portanto, longe ou perto do perigo.
No dia a dia
- Navegação costeira. O ângulo de perigo ainda é ensinado em cursos de navegação como alternativa ao GPS.
- Topografia. O problema de Pothenot localiza um ponto em campo a partir de três marcos conhecidos.
- Palco e plateia. O arco capaz mostra todos os lugares de onde um palco é visto sob o mesmo ângulo.
- Esportes. Num chute a gol, o arco capaz indica os pontos com a mesma abertura do gol.
Fontes: Elementos, proposição III.32 · Elementos, proposição III.33 · Snellius (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoÂngulo de segmento
Ângulo de segmento (ou semi-inscrito) é um ângulo com o vértice na circunferência, um lado secante e o outro tangente a ela. O nome vem do segmento circular que ele determina.
TeoremaMedida do ângulo de segmento
Um ângulo de segmento mede metade do ângulo central correspondente, ou seja, metade do arco correspondente: $\alpha = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}$.
Demonstração (ângulo agudo). No triângulo isósceles $OAB$, $\hat{A} = 90^{\circ} - \dfrac{\beta}{2}$ (1). Como $t$ é tangente, $\alpha + \hat{A} = 90^{\circ}$, isto é, $\hat{A} = 90^{\circ} - \alpha$ (2). De (1) e (2), $\alpha = \dfrac{\beta}{2}$. Se o ângulo é reto, $\overline{AB}$ é diâmetro e o arco mede $180^{\circ}$; se é obtuso, usa-se o suplementar adjacente.
DefiniçãoArco capaz
Dados um segmento $\overline{AB}$ e um ângulo $\alpha$, os vértices de todos os ângulos inscritos (e de segmento) que medem $\alpha$ e têm os lados passando por $A$ e $B$ estão num arco $\overset{\frown}{APB}$: o arco capaz de $\alpha$ sobre $\overline{AB}$. Ele é o arco de uma circunferência cujo ângulo central sobre $\overline{AB}$ mede $2\alpha$.