20 世紀のはじめ、数学者たちは数学全体をただ一つの概念、集合から組み立てようとしていた。だが、その言葉で言えば、数 $3$ とは何なのか。ゲオルク・カントールは「順序数」、つまり列の中の位置をはかる数について語っていた。一番目、二番目、三番目、そして有限のものすべての後に、最初の無限の順序数 $\omega$ が来る。足りなかったのは、これらの数が集合として何であるかを言うことだった。

1923 年、19 歳のフォン・ノイマンは短い論文『超限数の導入について』を発表した。その答えはあまりに簡潔だったので、標準の定義となった。

各数はそれより前の数の集合である

規則は一つしかない。順序数とは、それより小さい順序数すべての集合である。何もないところから始めると、

$$0 = \varnothing,\qquad 1 = \{0\} = \{\varnothing\},\qquad 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\},$$$$3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.$$

一般に、ある数の後者は、その数自身に自分自身を付け加えたものである。

$$n + 1 = n \cup \{n\}.$$

この定義からは三つのことがただで手に入る。

  • 数 $n$ はちょうど $n$ 個の要素をもつ。$3$ の要素は $0$、$1$、$2$ である。$n$ まで数えるとは、$n$ の要素をたどることだ。
  • 「より小さい」は「属する」になる。$m < n$ は $m \in n$ を意味する。さらに「含まれる」でもある。$2 \subset 3$。
  • すべては空集合からつくられる。数の存在を仮定する必要はない。数は波括弧から製造されるのだ。

無限の先へ

同じ規則はそのまま続く。すべての自然数の集合

$$\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

は最初の無限順序数である。これもそれより小さい順序数すべての集合であり、前のものとまったく同じだ。続いて $\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$、次に $\omega + 2$ と進み、$\omega \cdot 2$、$\omega^2$、$\omega^\omega$ …… へと至る。カントールはこの階段を描いた。フォン・ノイマンは、その一段一段に具体的な構成を与えたのである。

二年後、フォン・ノイマンは博士論文で集合論の公理系を提案し、集合とクラス、つまり「すべての集合」のように大きすぎて集合になれない集まりとを区別した。パウル・ベルナイスとクルト・ゲーデルによる修正を経て、この体系は NBG と呼ばれるようになり、今も数学の基礎づけとして最もよく使われる二つの方法の一つである。

練習：4 を書く

順序数 $4$ を前の数だけを使って書け。次に、すべてを $\varnothing$ で書いたときに現れる開き波括弧 $\{$ の数を数えよ。

$4 = \{0, 1, 2, 3\}$ である。$\varnothing$ だけで書くと、各数 $n$ はいちばん外側の波括弧一つと、その要素たちの波括弧を使う。開き波括弧の数を $c(n)$ とすると、$c(0) = 0$、$c(n+1) = 1 + c(0) + c(1) + \cdots + c(n)$ である。よって $c(1) = 1$、$c(2) = 2$、$c(3) = 4$、$c(4) = 8$ となり、波括弧の数は一段ごとに倍になる。$c(n) = 2^{n-1}$。

練習：小さいとは属すること

$1 \in 3$ かつ $1 \subset 3$ であるが、$3 \notin 1$ であることを確かめよ。

$3 = \{0, 1, 2\}$ は $1$ を要素にもつので、$1 \in 3$ である。また $1 = \{0\}$ のただ一つの要素 $0$ も $3$ に入っているので、$1 \subset 3$ である。しかし $1 = \{0\}$ の要素に $3$ はないので、$3 \notin 1$ である。$3$ は $1$ より小さくないのだから、そうでなければならない。

出典： John von Neumann, “Zur Einführung der transfiniten Zahlen”, Acta Sci. Math. Szeged（1923）· Jean van Heijenoort（編）, From Frege to Gödel（1967）· George Pólya, The Pólya Picture Album（1987）。

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