Euler's Eyes
2026-10-14
As figuras de Chladni e o prêmio das placas vibrantes
Espalhe areia sobre uma placa de metal presa pelo centro e passe um arco de violino na borda. A placa começa a cantar, e a areia, como se tivesse vontade própria, foge de alguns lugares e se junta em outros, desenhando linhas, cruzes, estrelas e curvas simétricas. Mude a nota, e o desenho muda. São as figuras de Chladni.
O som que se vê
O alemão Ernst Chladni publicou essas figuras em 1787, num livro chamado Descobertas sobre a teoria do som. A explicação qualitativa é simples. Quando a placa vibra, quase todos os seus pontos sobem e descem, e jogam a areia para longe. Mas algumas linhas ficam paradas: são as linhas nodais. A areia escorrega para lá e fica. O desenho é um mapa dos lugares onde a placa não se mexe.
Chladni viajou pela Europa mostrando as suas placas. Em 1808, apresentou-as em Paris a Napoleão, que ficou fascinado e ofereceu à Academia de Ciências uma medalha de ouro de um quilo para quem desse uma teoria matemática das superfícies elásticas que explicasse as figuras.
Por que era tão difícil
Para uma corda vibrante, a matemática já estava pronta. Em 1747, d’Alembert tinha escrito a equação da corda, e Euler e Daniel Bernoulli tinham explicado que ela vibra em notas cujas frequências são múltiplas da mais grave: $f, 2f, 3f, \ldots$ Uma corda é uma linha, e a força que a puxa de volta depende de quanto ela está inclinada.
Uma placa é diferente. Ela resiste a ser dobrada, como uma régua de metal, e se dobra em duas direções ao mesmo tempo. Euler tinha tentado tratar sinos, e Jakob Bernoulli, sobrinho de Daniel, tinha imaginado a placa como uma grade de vigas cruzadas, sem sucesso. Lagrange, membro do júri, achava que os métodos da época não bastavam. Só uma pessoa concorreu.
As três tentativas
Sophie Germain partiu de uma hipótese: a força com que a placa resiste é proporcional à sua curvatura, e numa superfície isso significa somar as curvaturas nas duas direções principais. Em 1811, entregou o trabalho. Havia erros de cálculo, e o prêmio não foi dado. Mas Lagrange, ao corrigir as contas a partir da hipótese dela, chegou à equação certa para os pequenos deslocamentos $z(x,y,t)$ da placa:
$$\begin{aligned}&\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\Bigg(\frac{\partial^4 z}{\partial x^4}+2\,\frac{\partial^4 z}{\partial x^2\,\partial y^2}\\&\qquad\qquad+\frac{\partial^4 z}{\partial y^4}\Bigg)=0.\end{aligned}$$Repare nas derivadas de quarta ordem. Na corda, a equação tem só derivadas segundas. A ordem mais alta é a marca da resistência a dobrar.
O concurso foi reaberto. Em 1813, Sophie mostrou que a equação reproduzia várias das figuras de Chladni e recebeu uma menção honrosa. Em 1816, na terceira vez, ganhou o prêmio. O júri ainda apontava lacunas na justificativa física e nas condições na borda da placa, que só foram resolvidas em 1850 por Gustav Kirchhoff. Mas a equação, hoje escrita como $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\,\Delta^2 z=0$, é a mesma que os engenheiros usam até hoje para calcular pisos, asas e tampos de violão.
Desenhar as figuras
Para uma placa quadrada, uma aproximação clássica das linhas nodais é dada por combinações como
$$\cos(n\pi x)\cos(m\pi y)\pm\cos(m\pi x)\cos(n\pi y)=0,$$com $x$ e $y$ entre 0 e 1. A figura abaixo foi desenhada com essa fórmula: cada quadrado é uma placa, e as linhas claras são onde a areia se acumularia.
Exercício: mostre que a diagonal x = y é uma linha nodal para m = 1, n = 2 com o sinal de menos
A expressão é $\cos(2\pi x)\cos(\pi y)-\cos(\pi x)\cos(2\pi y)$. Sobre a diagonal, $y=x$, ela vira $\cos(2\pi x)\cos(\pi x)-\cos(\pi x)\cos(2\pi x)=0$. Então a diagonal inteira fica parada, como mostra o primeiro quadrado da figura.
Exercício: uma placa é trocada por outra do mesmo material e mesma espessura, mas com o dobro do lado. O que acontece com as notas?
Na equação da placa, o tempo aparece com derivada segunda e o espaço com derivada quarta. Se as distâncias dobram, as derivadas quartas ficam $2^4=16$ vezes menores, e para compensar as derivadas segundas no tempo também precisam ficar 16 vezes menores: o tempo de cada oscilação fica $4$ vezes maior. As frequências caem para $\frac14$, isto é, duas oitavas abaixo. Numa corda, dobrar o comprimento só baixa uma oitava.
Fontes: Louis L. Bucciarelli e Nancy Dworsky, Sophie Germain: An Essay in the History of the Theory of Elasticity (1980) · Ernst Chladni, Entdeckungen über die Theorie des Klanges (1787) · biografia de Sophie Germain, MacTutor.
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