Euler's Eyes
2026-10-11
Ângulo inscrito
O ângulo inscrito mede a metade do arco que ele enxerga. Um caso especial — o ângulo inscrito na semicircunferência é reto — é atribuído a Tales.
Quem descobriu
A tradição grega atribui a Tales de Mileto (século VI a.C.) a descoberta de que todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Diógenes Laércio conta, citando a escritora Pânfila, que Tales sacrificou um boi para celebrar o resultado. A relação geral — o ângulo central é o dobro do inscrito sobre o mesmo arco — é a proposição III.20 dos Elementos de Euclides, e o caso da semicircunferência é a III.31.
A história
Em alemão e em inglês, “teorema de Tales” (Satz des Thales) é justamente o do ângulo na semicircunferência, não o das paralelas que estudaremos no capítulo 12. A história do boi vem de um autor que viveu oito séculos depois de Tales, mas mostra que os gregos viam o resultado como uma conquista notável.
A prova de Euclides traça o diâmetro pelo vértice do ângulo inscrito e usa triângulos isósceles formados por raios. O mesmo raciocínio leva à proposição III.22: num quadrilátero inscrito, os ângulos opostos somam 180°.
No dia a dia
- Achar o centro de um disco. Encoste o canto de um esquadro na borda e marque onde os lados cortam o círculo: esse segmento é um diâmetro. Repita em outro lugar; o cruzamento dos dois diâmetros é o centro.
- Teatro e cinema. Assentos sobre um mesmo arco de circunferência veem o palco sob o mesmo ângulo.
- Fotografia. Para que dois prédios apareçam sob o mesmo ângulo, o fotógrafo pode se mover ao longo de um arco que passa por eles.
- Futebol. Os pontos de onde a abertura do gol é vista sob o mesmo ângulo estão sobre um arco de circunferência.
Fontes: Tales (MacTutor) · Elementos, proposição III.20 · Elementos, proposição III.31.
Teoria e construções
DefiniçãoÂngulo inscrito
Ângulo inscrito é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Em $A\hat{V}B$, o arco $\overset{\frown}{AB}$ é o arco correspondente, e $A\hat{O}B$ é o ângulo central correspondente.
TeoremaMedida do ângulo inscrito
Um ângulo inscrito mede metade do ângulo central correspondente, isto é, metade do arco correspondente:
$$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}.$$Demonstração (três casos)
- 1º caso — $O$ está num lado do ângulo. $OV = OA$ (raios), então o $\triangle OVA$ é isósceles e $\hat{V} = \hat{A} = \alpha$. Como $\beta$ é ângulo externo desse triângulo, $\beta = \hat{A} + \hat{V} = 2\alpha$.
- 2º caso — $O$ é interno ao ângulo. Seja $C$ o outro extremo do diâmetro por $V$. Pelo 1º caso, $\beta_1 = 2\alpha_1$ (em $A\hat{V}C$) e $\beta_2 = 2\alpha_2$ (em $C\hat{V}B$). Somando: $\beta = 2\alpha$.
- 3º caso — $O$ é externo ao ângulo. Com o mesmo diâmetro $\overline{VC}$, pelo 1º caso, $\beta_1 = 2\alpha_1$ e $\beta_2 = 2\alpha_2$; subtraindo: $\beta = \beta_1 - \beta_2 = 2(\alpha_1 - \alpha_2) = 2\alpha$.
- Em todos os casos, $\alpha = \dfrac{\beta}{2}$, e como $\beta = \overset{\frown}{AB}$, temos $\alpha = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}$.
TeoremaÂngulo inscrito numa semicircunferência
Todo ângulo reto é inscritível numa semicircunferência e, reciprocamente, todo ângulo inscrito numa semicircunferência, com os lados passando pelas extremidades, é reto. Em particular, um triângulo inscrito numa semicircunferência, com um lado igual ao diâmetro, é retângulo.
De fato, se $A\hat{V}B = 90^{\circ}$, o arco correspondente mede $180^{\circ}$; e se $\overline{AB}$ é diâmetro, $\overset{\frown}{AB} = 180^{\circ}$ dá $A\hat{V}B = 90^{\circ}$. Use o botão “AB diâmetro” na figura acima.
Quadrilátero inscritível
TeoremaQuadrilátero inscrito
Um quadrilátero que tem os vértices numa circunferência é inscrito nela.
a) Se um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência, seus ângulos opostos são suplementares: $\hat{A} + \hat{C} = \hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$.
b) Recíproca: se um quadrilátero convexo tem ângulos opostos suplementares, ele é inscritível.
Assim, ter ângulos opostos suplementares é condição necessária e suficiente para um quadrilátero convexo ser inscritível.
Ver as demonstrações
a) $\hat{A}$ é inscrito e enxerga o arco $\overset{\frown}{BCD}$: $\hat{A} = \dfrac{\overset{\frown}{BCD}}{2}$. Do mesmo modo, $\hat{C} = \dfrac{\overset{\frown}{DAB}}{2}$. Somando, $\hat{A} + \hat{C} = \dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$. Como a soma dos quatro ângulos é $360^{\circ}$, também $\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$.
b) Se $ABCD$ não fosse inscritível, a circunferência $\lambda$ por $A$, $B$ e $C$ não passaria por $D$. Seja $E$ o encontro da reta $CD$ com $\lambda$; então $ABCE$ é inscrito e $\hat{B} + \hat{E} = 180^{\circ}$. Com a hipótese $\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$, viria $\hat{D} = \hat{E}$ — absurdo pelo teorema do ângulo externo no $\triangle ADE$.