Múltiplos de 3 ou 5

Se listarmos todos os números naturais abaixo de 10 que são múltiplos de 3 ou 5, obtemos 3, 5, 6 e 9. A soma desses múltiplos é 23.

Encontre a soma de todos os múltiplos de 3 ou 5 abaixo de 1000.

Código R
multiplos <- function(numMax){
  num <- seq_len(numMax-1)
  test <- apply(rbind(num %% 3,  num %% 5), 2, min)
  return(sum(num[test == 0]))
}

multiplos(10)
> 23
multiplos(1000)
> 233168

multiplos <- function(numMax, mult){
  num <- seq_len(numMax-1)
  vecMult <- lapply(mult , function(div) num %% div)
  matMult <- do.call(rbind, vecMult)
  test <- apply(matMult, 2, min)
  return(sum(num[test == 0]))
}

multiplos(10, c(3,5))
> 23
multiplos(1000, c(3,5))
> 233168

Números pares de Fibonacci

Cada novo termo na sequência de Fibonacci é gerado pela adição dos dois termos anteriores. Começando com 1 e 2, o primeiro 10. Os termos serão:

$$1,2,3,5,8,13, 21, 34, 55, 89, \dots$$

Ao considerar os termos na sequência de Fibonacci cujos valores não excedem quatro milhões, encontre a soma dos termos pares.

Código R
fib_tbl <- c(0, 1, rep(NA, 23))

fibMemory <- function(n){
  stopifnot(n > 0)
  if(!is.na(fib_tbl[n]))
    fib_tbl[n]
  else {
    fib_tbl[n - 1] <<- fibMemory(n - 1)
    fib_tbl[n - 2] <<- fibMemory(n - 2)
    fib_tbl[n - 1] + fib_tbl[n - 2]
  }
}


somPar1 <- function(num) {
  seqFib <- unlist(lapply(seq_len(num), function(val) fibMemory(val)))
  seqFib <- seqFib[!is.na(seqFib)]
  seqFib <- seqFib[!is.infinite(seqFib)]

  resp <- seqFib[seqFib %% 2 == 0]
  resp <- resp[resp < (4*10^6)]
  newresp <- cumsum(resp)

  return(tail(newresp,1))
}

somPar1(10)
> 44
somPar1(4*10^3)
> 4613732

Maior fator primo

Os fatores primos de 13195 são 5, 7, 13 e 29.

Qual é o maior fator primo do número 600851475143?

Código R
divis <- function(num){
  divnum <- NULL
  count <- 2
  repeat{
    if(num == 1)
      break

    if(num %% count == 0){
      num <- num/count
      divnum <- c(divnum, count)
      print(num)
    }
    count <- count + 1
  }
  print(divnum)
  return(max (divnum))
}

divis(13195)
> 29
divis(600851475143)
> 6857

Maior produto palíndromo

Um número palindrômico é lido da mesma forma nos dois sentidos. O maior palíndromo feito do produto de dois números de 2 dígitos

$$ 9009 = 91 \times 99$$

Encontre o maior palíndromo feito do produto de dois números de 3 dígitos.

Código R
geraRev <- function(num)
  return(as.numeric(
    paste(rev(unlist(strsplit(as.character(num),"",fixed=TRUE))), collapse="")))

calcProdMaxPalindromo <- function(numTeste){
  # numTeste <- 900:999
  ## encontra possibilidades de capicua (div 11)
  possible <- numTeste[numTeste %% 11 ==0]

  ## cria matrix com numeros de teste, possibilidades e multiplicacao das 2 primeiras colunas
  mat <- lapply(possible, function(p) cbind(numTeste, p, numTeste * p))
  mat <- do.call(rbind, mat)

  prodNum <- mat[,3]
  ## reverte os algarismos
  revnum1 <- unlist(lapply(prodNum, function(i) geraRev(i)))
  ## vector booleano de capicuas
  checkPalin <- prodNum == revnum1
  ## filtra o produtos de capicuas
  matPoss <- mat[checkPalin, ]

  ## pega maior produto
  return(max(matPoss[,3]))
}

calcProdMaxPalindromo(900:999)
> 906609

Menor múltiplo

2520 é o menor número que pode ser dividido por cada um dos números de 1 para 10 sem qualquer resto.

Qual é o menor número positivo que é divisível uniformemente por todos os números de 1 para 20?

Código R

## maximo divisor comum
mdc <- function(a, b){
  if( b == 0)
    return(a)

  return(mdc(b, (a %% b)))
}

## mínimo multiplo comum
mmc <- function(numeros){
  m <- 1
  for(n in numeros)
    m <- m * n / mdc(m, n)
  return(m)
}

mmc(1:10)
> 2520
mmc(1:11)
> 27720
mmc(1:13)
> 360360
mmc(1:20)
> 232792560

Diferença da Soma Quadrada

A soma dos quadrados dos dez primeiros números naturais é,

$$1^2+ 2^2 + \dots + 10^2 = 385$$

O quadrado da soma dos dez primeiros números naturais é,

$$(1+2+\dots + 10)^2 = 55^2 = 3025$$

Portanto, a diferença entre a soma dos quadrados dos dez primeiros números naturais e o quadrado da soma é

$$3025-385=2640$$

Encontre a diferença entre a soma dos quadrados dos primeiros cem números naturais e o quadrado da soma.

Código R
vec <- 1:100
difsomaquad <- function(valmax) sum(seq(valmax))^2 - sum(seq(valmax)^2)

difsomaquad(10)
> 2640
difsomaquad(100)
> 25164150

10001º primo

Ao listar os seis primeiros números primos:

$$2,3,5,7,11,13$$

podemos ver que o sexto primo é 13.

Qual é o 10001º número primo?

Código R

primeNumbers <- function(n) {
  if (n < 2)
    stop("Input number should be at least 2.")

  x <- seq(2, n)
  primeNums <- c()

  for (i in seq(2, n)) {
    if (any(x == i)) {
      primeNums <- c(primeNums, i)
      x <- c(x[(x %% i) != 0], i)
    }
  }

  return(primeNums)
}
numprime <- primeNumbers(200000)
tail(numprime[1:6],1)
> 13
tail(numprime[1:10001],1)
> 104743

Maior produto de uma série

Os quatro dígitos adjacentes no milésimo o número do dígito que tem o maior produto é

$$9\times 9\times 8\times 9 = 5832$$

73167176531330624919225119674426574742355349194934 96983520312774506326239578318016984801869478851843 85861560789112949495459501737958331952853208805511 12540698747158523863050715693290963295227443043557 66896648950445244523161731856403098711121722383113 62229893423380308135336276614282806444486645238749 30358907296290491560440772390713810515859307960866 70172427121883998797908792274921901699720888093776 65727333001053367881220235421809751254540594752243 52584907711670556013604839586446706324415722155397 53697817977846174064955149290862569321978468622482 83972241375657056057490261407972968652414535100474 82166370484403199890008895243450658541227588666881 16427171479924442928230863465674813919123162824586 17866458359124566529476545682848912883142607690042 24219022671055626321111109370544217506941658960408 07198403850962455444362981230987879927244284909188 84580156166097919133875499200524063689912560717606 05886116467109405077541002256983155200055935729725 71636269561882670428252483600823257530420752963450

Encontre os treze dígitos adjacentes no milésimo número do dígito que tem o melhor produto. Qual é o valor deste produto?

Código R

str <- "7316717653133062491922511967442657474235534919493496983520312774506326239578318016984801869478851843858615607891129494954595017379583319528532088055111254069874715852386305071569329096329522744304355766896648950445244523161731856403098711121722383113622298934233803081353362766142828064444866452387493035890729629049156044077239071381051585930796086670172427121883998797908792274921901699720888093776657273330010533678812202354218097512545405947522435258490771167055601360483958644670632441572215539753697817977846174064955149290862569321978468622482839722413756570560574902614079729686524145351004748216637048440319989000889524345065854122758866688116427171479924442928230863465674813919123162824586178664583591245665294765456828489128831426076900422421902267105562632111110937054421750694165896040807198403850962455444362981230987879927244284909188845801561660979191338754992005240636899125607176060588611646710940507754100225698315520005593572972571636269561882670428252483600823257530420752963450"

seqN <- 13

getMaxProd <- function(str, seqN){
  allNum <- as.numeric(unlist(strsplit(str, split = "")))
  allSeq <- lapply(1:(length(allNum) - seqN + 1), function(i) allNum[i:(i + seqN - 1)])
  matSeq <- do.call(rbind, allSeq)

  respProd <- cbind.data.frame(matSeq, prod = apply(matSeq, 1, prod))

  return(max(respProd[,"prod"]))

}

getMaxProd(str, 4)
> 5832
getMaxProd(str, 13)
> 23514624000

Terno pitagórico especial

Um terno pitagórico é um conjunto de três números naturais com $a< b< c$, para os quais:

$$a^2+ b^2 = c^2$$

Por exemplo,

$$3^2+ 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$

Existe exatamente um terno pitagórico para o qual

$$a+b+c=1000$$

Encontre o produto

$$abc$$
Código R
mdc <- function(a, b){
  if(b == 0)
    return(a)

  return(mdc(b, (a %% b)))
}


## Pythagorean Triple Condition
## Euclides Equation
## if m > n and mdc(m, n) = 1 with m, n integer
## a = 2*m*n, b = m^2 - n^2, c = m^2 + n^2
prodPythagoreanTriple <- function(sumTarget) {
  n <- 1
  m <- 2
  repeat{
    if(mdc(m, n) == 1){
      a <- 2*m*n
      b <- m^2 - n^2
      c <- m^2 + n^2
      k <- sumTarget/sum(c(a, b, c))

      if(sumTarget %% k == 0){
        a <- k * a
        b <- k * b
        c <- k * c
        break
      }
    }
    m <- m + 1
  }
  return(a * b * c)
}

prodPythagoreanTriple(1000)
> 31875000

Soma dos primos

A soma dos primos abaixo fr 10 é:

$$2+3+5+7=17$$

Encontre a soma de todos os primos abaixo de dois milhões.

Código R

primeNumbers <- function(n) {
  if (n < 2)
    stop("Input number should be at least 2.")

  x <- seq(2, n)
  primeNums <- c()

  for (i in seq(2, n)) {
    if (any(x == i)) {
      primeNums <- c(primeNums, i)
      x <- c(x[(x %% i) != 0], i)
    }
  }
  return(primeNums)
}
numprime <- primeNumbers(2000001)


sumPrime <- function(target, numprime) sum(numprime[numprime < target])

sumPrime(10, numprime)
> 17
sumPrime(2000000, numprime)
> 142913828922

Maior produto em uma grade

Na grade de 20 x 20 abaixo, quatro números ao longo de uma linha diagonal foram marcados em vermelho.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Código R

productDirection <- function(i, j, mat, direction) {
  n <- nrow(mat)

  if (direction == "horizontal" && j <= n - 3)
    return(prod(mat[i, j + c(0,1,2,3)]))

  if (direction == "vertical" && i <= n - 3)
    return(prod(mat[i+ c(0,1,2,3), j ]))

  if (direction == "diag_dr" && i <= n - 3 && j <= n - 3)
    return(mat[i, j] * mat[i+1, j+1] * mat[i+2, j+2] * mat[i+3, j+3])

  if (direction == "diag_dl" && i <= n - 3 && j >= 4)
    return(mat[i, j] * mat[i+1, j-1] * mat[i+2, j-2] * mat[i+3, j-3])

  if (direction == "vertical_up" && i >= 4)
    return(prod(mat[i- c(0,1,2,3), j ]))

  return(0)
}


greaterProduct <- function(mat) {
  n <- nrow(mat)
  dir <- c("horizontal", "vertical", "diag_dr", "diag_dl", "vertical_up")

  index <- expand.grid(i = 1:n, j = 1:n, direction = dir)

  prod <- mapply(function(i, j, direction)
    productDirection(i, j, mat, direction),
    index[, "i"],
    index[, "j"],
    index[, "direction"])

  return(max(prod))
}

greaterProduct(mat)
> 70600674

Maior Número triangular divisível

A sequência de números triangulares é gerada pela adição dos números naturais. Portanto, o sétimo número do triângulo seria

$$1+2+3+4+5+6+7=28$$

Os primeiros dez termos seriam:

$$1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,\dots$$
$$ \begin{align} \mathbf 1 &\colon 1\\ \mathbf 3 &\colon 1,3\\ \mathbf 6 &\colon 1,2,3,6\\ \mathbf{10} &\colon 1,2,5,10\\ \mathbf{15} &\colon 1,3,5,15\\ \mathbf{21} &\colon 1,3,7,21\\ \mathbf{28} &\colon 1,2,4,7,14,28 \end{align} $$

Podemos ver que 28 é o primeiro número de triângulo a ter mais de cinco divisores. Qual é o valor do primeiro número do triângulo a ter mais de quinhentos divisores?

Código R

divisors <- function(x){
  #  Vector of numberes to test against
  y <- seq_len(x)
  #  Modulo division. If remainder is 0 that number is a divisor of x so return it
  return(y[ x%%y == 0 ])
}


# Função para calcular o número de divisores
divisorNumb <- function(n) {
  count <- 0
  for (i in 1:sqrt(n)) {
    if (n %% i == 0) {
      if (i * i == n)
        count <- count + 1
      else
        count <- count + 2
    }
  }
  return(count)
}

# Função para encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
getTriangleNumberLimit <- function(limDiv) {
  triangleNum <- 0
  i <- 1
  repeat {
    triangleNum <- triangleNum + i
    if (divisorNumb(triangleNum) > limDiv)
      return(triangleNum)

    i <- i + 1
  }
}

# Encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
resultado <- getTriangleNumberLimit(500)
print(resultado)
> 76576500

Versão 2

Código R

# Função para gerar números primos até um certo limite usando o Crivo de Eratóstenes
crivo_eratostenes <- function(limite) {
  primos <- rep(TRUE, limite)
  primos[1] <- FALSE # 1 não é primo
  for (i in 2:sqrt(limite)) {
    if (primos[i]) {
      primos[seq(i*i, limite, by=i)] <- FALSE
    }
  }
  return(which(primos))
}

# Função para fatorar um número inteiro em seus fatores primos
fatoracao_prima <- function(n) {
  if (n <= 1)
    stop("O número deve ser maior que 1.")

  fatores <- integer() # Vetor para armazenar os fatores primos

  # Obter todos os primos até a raiz quadrada de n
  limite <- floor(sqrt(n))
  primos <- crivo_eratostenes(limite)

  for (divisor in primos) {
    while (n %% divisor == 0) {
      fatores <- c(fatores, divisor)
      n <- n / divisor
    }
  }

  # Se n é um número primo maior que a raiz quadrada de n
  if (n > 1)
    fatores <- c(fatores, n)

  return(fatores)
}


# Função para calcular o número de divisores

divisorNumb <- function(n) {
  if (n <= 0)
    stop("O número deve ser maior que 0.")

  # Obter a fatoração prima do número
  fatores <- fatoracao_prima(n)

  # Contar a multiplicidade de cada fator primo
  tabela_fatores <- table(fatores)

  # Calcular o número de divisores a partir das multiplicidades
  numero_divisores <- prod(tabela_fatores + 1)

  return(numero_divisores)
}

# Função para encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
getTriangleNumberLimit <- function(limDiv) {
  triangleNum <- 0
  i <- 1
  repeat {
    triangleNum <- triangleNum + i
    if (divisorNumb(triangleNum) > limDiv)
      return(triangleNum)

    i <- i + 1
  }
}

# Encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
resultado <- getTriangleNumberLimit(500)
print(resultado)
> 76576500

Grande Soma

Calcule os primeiros dez dígitos da soma dos cem seguintes 50 números de dígitos.

37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
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Código R

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w <- c("35829035317434717326932123578154982629742552737307","94953759765105305946966067683156574377167401875275",
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  "23053081172816430487623791969842487255036638784583","11487696932154902810424020138335124462181441773470",
  "63783299490636259666498587618221225225512486764533","67720186971698544312419572409913959008952310058822",
  "95548255300263520781532296796249481641953868218774","76085327132285723110424803456124867697064507995236",
  "37774242535411291684276865538926205024910326572967","23701913275725675285653248258265463092207058596522",
  "29798860272258331913126375147341994889534765745501","18495701454879288984856827726077713721403798879715",
  "38298203783031473527721580348144513491373226651381","34829543829199918180278916522431027392251122869539",
  "40957953066405232632538044100059654939159879593635","29746152185502371307642255121183693803580388584903",
  "41698116222072977186158236678424689157993532961922","62467957194401269043877107275048102390895523597457",
  "23189706772547915061505504953922979530901129967519","86188088225875314529584099251203829009407770775672",
  "11306739708304724483816533873502340845647058077308","82959174767140363198008187129011875491310547126581",
  "97623331044818386269515456334926366572897563400500","42846280183517070527831839425882145521227251250327",
  "55121603546981200581762165212827652751691296897789","32238195734329339946437501907836945765883352399886",
  "75506164965184775180738168837861091527357929701337","62177842752192623401942399639168044983993173312731",
  "32924185707147349566916674687634660915035914677504","99518671430235219628894890102423325116913619626622",
  "73267460800591547471830798392868535206946944540724","76841822524674417161514036427982273348055556214818",
  "97142617910342598647204516893989422179826088076852","87783646182799346313767754307809363333018982642090",
  "10848802521674670883215120185883543223812876952786","71329612474782464538636993009049310363619763878039",
  "62184073572399794223406235393808339651327408011116","66627891981488087797941876876144230030984490851411",
  "60661826293682836764744779239180335110989069790714","85786944089552990653640447425576083659976645795096",
  "66024396409905389607120198219976047599490197230297","64913982680032973156037120041377903785566085089252",
  "16730939319872750275468906903707539413042652315011","94809377245048795150954100921645863754710598436791",
  "78639167021187492431995700641917969777599028300699","15368713711936614952811305876380278410754449733078",
  "40789923115535562561142322423255033685442488917353","44889911501440648020369068063960672322193204149535",
  "41503128880339536053299340368006977710650566631954","81234880673210146739058568557934581403627822703280",
  "82616570773948327592232845941706525094512325230608","22918802058777319719839450180888072429661980811197",
  "77158542502016545090413245809786882778948721859617","72107838435069186155435662884062257473692284509516",
  "20849603980134001723930671666823555245252804609722","53503534226472524250874054075591789781264330331690")


numbers = as.numeric(c(x,y, z,w))
totalSum <- sum(numbers)
firstTenDigits <- substr(as.character(totalSum), 1, 10)
> 5537376230

Sequência Longa de Collatz

A seguinte sequência iterativa é definida para o conjunto de inteiros positivos:

$$n \rightarrow \frac{n}{2} \quad \text{n par}$$

$$n \rightarrow 3n+1 \quad \text{n ímpar}$$

Usando a regra acima e começando com 13 , geramos a seguinte sequência:

$$13 \rightarrow 40\rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$$

Pode-se observar que essa sequência (começando em 13 e terminando em 1) contém 10 termos. Embora ainda não tenha sido provado (Problema de Collatz), acredita-se que todos os números iniciais terminem em 1.

Qual número inicial, abaixo de um milhão, produz a cadeia mais longa?

NOTA: Uma vez que a cadeia começa, os prazos podem ultrapassar um milhão.

Código R
# Função para calcular o comprimento da sequência de Collatz para um determinado número
collatzLength <- function(n) {
  collatzLen <- 1
  repeat {
    if (n %% 2 == 0)
      n <- n / 2
    else
      n <- 3 * n + 1

    collatzLen <- collatzLen + 1

    if(n == 1) break
  }

  return(collatzLen)
}

# Encontre o número abaixo de um milhão que produz a cadeia mais longa
longestChain <- function(limit) {
  max_length <- 0
  number_with_longest_chain <- 0

  for (i in 1:(limit - 1)) {
    len <- collatzLength(i)
    if (len > max_length) {
      max_length <- len
      number_with_longest_chain <- i
    }
  }

  return(list("number" = number_with_longest_chain, "length" = max_length))
}

# Encontre o número inicial abaixo de um milhão com a cadeia de Collatz mais longa
result <- longestChain(1000000)
print(result)

> $number
[1] 837799

$length
[1] 525

Caminhos de treliça

Começando no canto superior esquerdo de uma grade 2x2, só pode ser capaz de se mover para a direita e para baixo. Há exatamente 6 rotas para o canto inferior direito.

Quantas dessas rotas existem através de uma grade 20 x 20?

Para calcular o número de rotas através de uma grade 𝑛×𝑛 onde você só pode mover para a direita ou para baixo, a solução é baseada em combinatória.

O problema envolve escolher n movimentos para a direita e n movimentos para baixo em qualquer ordem, o que é equivalente a calcular um coeficiente binomial.

A fórmula para o número de rotas através de uma grade n x n é dada por:

$$\text{routes} = \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(2n-n)!n!}$$

​

Código R

# Função que calcula o fatorial
factorial <- function(x) {
  if (x == 0)
    return(1)

  return(prod(1:x))
}

# Função para calcular coeficiente binomial (2n escolha n)
binomialCoefficient <- function(n)
  return(factorial(2 * n) / (factorial(n) * factorial(n)))


# Number of routes through an n x n grid
gridRoutes <- function(n)
  return(binomialCoefficient(n))


# Example: Calculate routes through a 20x20 grid
n <- 20
routes <- gridRoutes(n)

cat("The number of routes through a", n, "x", n, "grid is:", routes, "\n")

> $The number of routes through a 20 x 20 grid is: 137846528820

Versão 2

Código R

gridRoutes <- function(n) choose(2*n, n)

# Example: Calculate routes through a 20x20 grid
n <- 20
routes <- gridRoutes(n)

cat("The number of routes through a", n, "x", n, "grid is:", routes, "\n")

> $The number of routes through a 20 x 20 grid is: 137846528820

Soma de dígitos de potência

$2^{15} = 32768$ e a soma de seus dígitos é $3+2+7+6+8=26$

Qual é a soma dos dígitos do número $2^{1000}$?

Código R
sumPowerDigits <- function(base, power)
  return(sum(as.integer(
    unlist(strsplit( ## splita os digitos
      as.character(
        format(base^power, scientific = FALSE)), "")) ## pot sem notação cientifica
      )
    )
  )


sumPowerDigits(2, 15)
> 26

sumPowerDigits(2, 1000)
> 1366

Contagens de letras numéricas

Se os números 1 a 5 são escritos por palavras: one, two, three, four, five, então há $3+3+5+4+4=19$ letras usadas no total.

Se todos os números de 1 a 1000 (one thousand) inclusive foram escritas em palavras, quantas letras seriam usadas?

NOTA: Não conte espaços ou hífens. Por exemplo (three hundred and forty-two) contém letras e (one hundred and fifteen) contém Cartas. O uso de “e” ao escrever números está em conformidade com o uso britânico.

Código R

countLetterNumber <- function(n){
  letter2Num <- xfun::n2w(seq(n), cap = TRUE, hyphen = FALSE, and = TRUE)
  numNotSpace <- gsub(" ", "", letter2Num)

  return(sum(nchar(numNotSpace)))
}

countLellerNumber(5)
> 19

countLellerNumber(1000)
> 21124

Soma Máxima do Caminho I

Começando no topo do triângulo abaixo e movendo-se para números adjacentes na linha abaixo, o total máximo de cima para baixo é 23.

3
7 4

2 4 6
8 5 9 3

Encontre o total máximo de cima para baixo do triângulo abaixo:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

NOTA: Como existem apenas 16384 rotas, é possível resolver esse problema tentando todas as rotas. No entanto, o Problema 67 é o mesmo desafio com um triângulo contendo cem linhas; não pode ser resolvido pela força bruta e requer um método inteligente!

Código R
triangulo <- list(
  c(3),
  c(7, 4),
  c(2, 4, 6),
  c(8, 5, 9, 3)
)

triangulo1 <- list(
  c(75),
  c(95, 64),
  c(17, 47, 82),
  c(18, 35, 87, 10),
  c(20, 4, 82, 47, 65),
  c(19, 1, 23, 75, 3, 34),
  c(88, 2, 77, 73, 7, 63, 67),
  c(99, 65, 4, 28, 6, 16, 70, 92),
  c(41, 41, 26, 56, 83, 40, 80, 70, 33),
  c(41, 48, 72, 33, 47, 32, 37, 16, 94, 29),
  c(53, 71, 44, 65, 25, 43, 91, 52, 97, 51, 14),
  c(70, 11, 33, 28, 77, 73, 17, 78, 39, 68, 17, 57),
  c(91, 71, 52, 38, 17, 14, 91, 43, 58, 50, 27, 29, 48),
  c(63, 66, 4, 68, 89, 53, 67, 30, 73, 16, 69, 87, 40, 31),
  c(4, 62, 98, 27, 23, 9, 70, 98, 73, 93, 38, 53, 60, 04, 23)
)

# Função para encontrar a soma máxima do caminho
maxPathSum <- function(triangulo) {
  # Copiar o triângulo para não modificar o original
  temp <- triangulo

  # Iterar de baixo para cima
  for (i in (length(temp) - 1):1)
    for (j in 1:length(temp[[i]]))
      temp[[i]][j] <- temp[[i]][j] + max(temp[[i + 1]][j], temp[[i + 1]][j + 1])

  # O topo do triângulo agora contém a soma máxima
  return(temp[[1]][1])
}

# Calcular a soma máxima do caminho
maxPathSum(triangulo)
> 23

maxPathSum(triangulo1)
> 1074

Contando os domingos

Você recebe as seguintes informações, mas pode preferir fazer alguma pesquisa por si mesmo.

  • 1º de janeiro de 1900 foi uma segunda-feira.
  • Trinta dias tem setembro, abril, junho e novembro.
  • Todo o resto tem trinta e um, exceto fevereiro, que tem vinte e oito, faça chuva ou faça sol.
  • E em anos bissextos, vinte e nove. Um ano bissexto ocorre em qualquer ano igualmente divisível por 4, mas não em um século, a menos que seja divisível por 400.

Quantos domingos caíram no primeiro dia do mês durante o século XX (1º de janeiro de 1901 a 31 de dezembro de 2000)?

Código R
# Função para verificar se um ano é bissexto
isLeapYear <- function(year)
  return((year %% 4 == 0 && year %% 100 != 0) || (year %% 400 == 0))

# Função para calcular o dia da semana do primeiro dia de um mês
dayWeek <- function(year, month) {
  # 1º de janeiro de 1900 foi uma segunda-feira
  daysMonth <- c(31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31)
  totalDays <- 0

  # Calcular os dias totais até o ano anterior
  totalDays <- sum(sapply(1900:(year - 1), function(y)
    ifelse(isLeapYear(y), 366, 365)))

  # Calcular os dias totais até o mês anterior
  totalDays <- totalDays + sum(daysMonth[1:(month - 1)])

  if (month > 2 && isLeapYear(year))
    totalDays <- totalDays + 1

  return((totalDays + 1) %% 7)
  # +1 porque 1º de janeiro de 1900 foi uma segunda-feira
}

# Contar quantos domingos caíram no primeiro dia do mês durante o século XX
countSundays <- function() {
  count <- 0
  for (year in 1901:2000)
    for (month in 1:12)
      if (dayWeek(year, month) == 0)  # 0 representa domingo
        count <- count + 1

  return(count)
}

# Calcular e imprimir o resultado
countSundays()
> 171

Soma dos dígitos de um fatorial

$n!$ significa $n\times (n-1)\times 3\times 2 \times 1$.

a soma dos dígitos do número de $10!$ é 27. Encontre a soma dos dígitos no número de $100!$.

  • Crescimento Exponencial: O valor do fatorial cresce muito rapidamente. Por exemplo, ( 10! = 3.628.800 ) e ( 20! = 2.432.902.008.176.640.000 ).
  • Limitações Computacionais: Para números muito grandes, os tipos de dados padrão em muitas linguagens de programação não são suficientes para armazenar o resultado.

Técnicas de Cálculo

  • Multiplicação Iterativa: A abordagem mais direta é multiplicar sequencialmente os números de 1 até ( n ).
  • Decomposição em Fatores Primos: Esta técnica pode ser usada para otimizar a multiplicação, especialmente em algoritmos mais avançados.
  • Algoritmos de Multiplicação Rápida: Algoritmos como Karatsuba ou FFT (Fast Fourier Transform) podem ser usados para multiplicar grandes números de forma mais eficiente.

Por que a maneira convencional de calcular o fatorial falha para grandes números?

Um fatorial de 100 tem 158 dígitos. Não é possível armazenar esses muitos dígitos, mesmo se usarmos ints longos.

A ideia é usar matemática básica para multiplicação.

Código R


# Function to multiply two large numbers represented as strings
multiplyLargeNumbers <- function(num1, num2) {
  len1 <- nchar(num1)
  len2 <- nchar(num2)
  result <- rep(0, len1 + len2)

  for (i in len1:1) {
    carry <- 0
    for (j in len2:1) {
      product <- as.integer(substr(num1, i, i)) * as.integer(substr(num2, j, j)) + result[i + j] + carry
      carry <- product %/% 10
      result[i + j] <- product %% 10
    }
    result[i] <- result[i] + carry
  }

  result_str <- paste(result, collapse = "")
  result_str <- sub("^0+", "", result_str)  # Remove leading zeros
  return(result_str)
}

# Function to calculate factorial of a number
factorialLarge <- function(n) {
  result <- "1"
  for (i in 2:n) {
    result <- multiplyLargeNumbers(result, as.character(i))
  }
  return(result)
}

# Function to sum the digits of a large number represented as a string
sumDigits <- function(num) {
  digits <- as.integer(unlist(strsplit(num, "")))
  return(sum(digits))
}

# Calculate the factorial of 100
fatResp <- factorialLarge(100)

# Calculate the sum of the digits of the factorial
sumDigits(fatResp)

> 648

Pontuações de nomes

Usando names.txt (clique com o botão direito do mouse e ‘Salvar link/destino como…’) , um arquivo de texto de 46K contendo mais de cinco mil nomes, comece classificando-o em ordem alfabética. Em seguida, calculando o valor alfabético de cada nome, multiplique esse valor por sua posição alfabética na lista para obter uma pontuação de nome.

Por exemplo, quando a lista é classificada em ordem alfabética, COLIN, que vale a pena 3+15+12+9+14=53, é o 938º nome na lista. Assim, o COLIN obteria uma pontuação de 938x43=49714.

Qual é o total de todas as pontuações de nomes no arquivo?

Código R
# Ler o arquivo names.txt
file_path <- "names.txt" # Substitua pelo caminho correto do arquivo
names_data <- readLines(file_path)

# Extrair os nomes e remover aspas
names <- unlist(strsplit(names_data, split = ",")) # Divide os nomes por vírgulas
names <- gsub('"', '', names) # Remove as aspas

# Ordenar os nomes em ordem alfabética
names_sorted <- sort(names)

# Função para calcular o valor alfabético de um nome
get_alpha_value <- function(name) {
  sum(match(unlist(strsplit(name, split = "")), LETTERS))
}

# Calcular a pontuação de cada nome
name_scores <- sapply(seq_along(names_sorted), function(i) {
  name_value <- get_alpha_value(names_sorted[i])
  score <- name_value * i # Multiplica pelo índice
  return(score)
})

# Somar todas as pontuações
total_score <- sum(name_scores)

# Resultado final
cat("A pontuação total dos nomes é:", total_score, "\n")

> A pontuação total dos nomes é: 871198282

Somas não abundantes

Um número perfeito é um número para o qual a soma de seus divisores próprios é exatamente igual ao número. Por exemplo, a soma dos divisores próprios de 28 Seria 1+2+4+7+14=28, o que significa que 28 é um número perfeito.

Um número n é chamado deficiente se a soma de seus próprios divisores for menor que n e é chamado de abundante se essa soma exceder n.

Como 12 é o menor número abundante, 1+2+3+4+6=16, o menor número que pode ser escrito como a soma de dois números abundantes é 24. Por análise matemática, pode-se mostrar que todos os inteiros maiores que 28123 pode ser escrito como a soma de dois números abundantes. No entanto, esse limite superior não pode ser reduzido mais pela análise, embora se saiba que o maior número que não pode ser expresso como a soma de dois números abundantes é menor que esse limite.

Encontre a soma de todos os inteiros positivos que não podem ser escritos como a soma de dois números abundantes.

Código R
# Função eficiente para encontrar a soma dos divisores próprios
sum_of_proper_divisors <- function(n) {
  if (n < 2) return(0)
  divisors <- c(1)  # Começa com 1, que é sempre divisor
  sqrt_n <- floor(sqrt(n))
  for (i in 2:sqrt_n) {
    if (n %% i == 0) {
      divisors <- c(divisors, i, n / i)
    }
  }
  # Remover o número duplicado caso seja um quadrado perfeito
  divisors <- unique(divisors[divisors != n])
  return(sum(divisors))
}

# Limite superior
upper_limit <- 28123

# Identificar números abundantes
abundant_numbers <- which(sapply(1:upper_limit, function(x) sum_of_proper_divisors(x) > x))

# Criar vetor booleano para representar números que podem ser escritos como soma de dois números abundantes
can_be_written <- logical(upper_limit)

# Marcar todas as somas de dois números abundantes
len <- length(abundant_numbers)
for (i in 1:len) {
  for (j in i:len) {
    sum_ab <- abundant_numbers[i] + abundant_numbers[j]
    if (sum_ab > upper_limit) break
    can_be_written[sum_ab] <- TRUE
  }
}

# Somar os números que NÃO podem ser escritos como soma de dois números abundantes
non_abundant_sum <- sum(which(!can_be_written))

# Resultado final
cat("A soma de todos os inteiros positivos que não podem ser escritos como a soma de dois números abundantes é:", non_abundant_sum, "\n")

> A soma de todos os inteiros positivos que não podem ser escritos como a soma
de dois números abundantes é: 4179871