Dois anos depois do Curso de análise, Cauchy publicou o Resumo das lições dadas na Escola Real Politécnica sobre o cálculo infinitesimal (1823). Em quarenta lições curtas, reconstruía o cálculo diferencial e integral com a ideia de limite. É, na essência, o roteiro que os livros de cálculo seguem até hoje.

A derivada

Para Lagrange, a derivada de $f$ era o coeficiente de $i$ na série de potências de $f(x + i)$. Cauchy a definiu como um limite:

$$f'(x) = \lim_{i \to 0} \frac{f(x + i) - f(x)}{i}.$$

Para $f(x) = x^2$: $\frac{(x + i)^2 - x^2}{i} = \frac{2xi + i^2}{i} = 2x + i$, que tende a $2x$. Não é preciso supor que $i$ seja “infinitamente pequeno” nem jogar nada fora: calcula-se o quociente para $i \neq 0$ e olha-se para onde ele vai.

A integral

Até então, integrar era sobretudo achar uma primitiva: a integral era o inverso da derivada. Cauchy inverteu a ordem e definiu a integral diretamente. Para $f$ contínua em $[x_0, X]$, divida o intervalo pelos pontos $x_0 < x_1 < \cdots < x_n = X$ e forme a soma

$$S = (x_1 - x_0) f(x_0) + (x_2 - x_1) f(x_1) + \cdots + (X - x_{n-1}) f(x_{n-1}).$$

Cauchy provou que, quando todos os pedaços ficam pequenos, $S$ se aproxima de um limite que não depende de como o intervalo foi dividido. Esse limite é a integral $\int_{x_0}^{X} f(x)\,dx$. Trinta anos depois, Riemann estenderia a definição a funções descontínuas, permitindo escolher qualquer ponto em cada pedaço.

O teorema fundamental

Com a integral definida independentemente, a ligação com a derivada passa a ser um teorema, e não uma definição. Seja $F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt$. Então

$$F(x + \alpha) - F(x) = \int_x^{x+\alpha} f(t)\,dt = \alpha\, f(x + \theta\alpha), \quad 0 \le \theta \le 1,$$

pois a integral de uma função contínua num intervalo é igual ao comprimento do intervalo vezes algum valor intermediário da função. Dividindo por $\alpha$ e fazendo $\alpha \to 0$, a continuidade dá $F'(x) = f(x)$. Integrar e derivar são operações inversas, e agora se sabe por quê.

O valor médio de Cauchy

O teorema do valor médio de Lagrange diz que, entre $a$ e $b$, há um ponto $c$ com $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$. Cauchy provou uma versão com duas funções:

$$\big(f(b) - f(a)\big)\, g'(c) = \big(g(b) - g(a)\big)\, f'(c).$$

A prova moderna é curta. A função $h(x) = \big(f(b) - f(a)\big) g(x) - \big(g(b) - g(a)\big) f(x)$ toma o mesmo valor em $a$ e em $b$ (confira: os dois dão $f(b)g(a) - g(b)f(a)$). Logo a sua derivada se anula em algum ponto $c$ entre eles, e isso é a fórmula.

A grande aplicação é a regra de l’Hôpital. Se $f(a) = g(a) = 0$, a fórmula aplicada entre $a$ e $x$ dá

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

com $c$ entre $a$ e $x$. Quando $x \to a$, também $c \to a$: o limite de $\frac{f}{g}$ é o limite de $\frac{f'}{g'}$. A regra que Johann Bernoulli ensinou ao marquês de l’Hôpital em 1694 ganhava, 130 anos depois, uma demonstração.

Exercício: o ponto de Cauchy

Encontre o ponto $c$ do teorema do valor médio de Cauchy para $f(x) = x^3$ e $g(x) = x^2$ no intervalo $[0, 1]$.

$f(1) - f(0) = 1$ e $g(1) - g(0) = 1$, então a fórmula fica $1 \cdot g'(c) = 1 \cdot f'(c)$, isto é, $2c = 3c^2$. Fora de $c = 0$, que é uma ponta do intervalo, a solução é $c = \frac{2}{3}$, que está de fato entre 0 e 1.

Exercício: um limite com três derivadas

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x - x}{x^3}$.

Numerador e denominador vão a zero. Pela regra justificada por Cauchy, o limite é o mesmo de $\frac{\cos x - 1}{3x^2}$, que ainda dá $\frac{0}{0}$; aplicando de novo, $\frac{-\operatorname{sen} x}{6x}$, e mais uma vez, $\frac{-\cos x}{6} \to -\frac{1}{6}$. Confira com $x = 0{,}1$: $\frac{0{,}0998334 - 0{,}1}{0{,}001} \approx -0{,}1666$.

Fontes: Augustin-Louis Cauchy, Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal (1823) · Augustin-Louis Cauchy, Leçons sur le calcul différentiel (1829) · Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (1981).

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