Em 30 de novembro de 1812, o jovem engenheiro de Cherbourg leu no Instituto de França uma memória de título comprido: sobre as funções que só podem tomar dois valores iguais e de sinais contrários quando se trocam entre si as variáveis. Por trás do título estava a primeira teoria geral dos determinantes.

Funções que trocam de sinal

Tome três variáveis $a_1, a_2, a_3$ e o produto das diferenças

$$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$

Se trocarmos $a_1$ com $a_2$, cada fator ou continua igual ou troca de sinal, e no total $\Delta$ vira $-\Delta$. Qualquer troca de duas variáveis faz o mesmo. Uma permutação das variáveis, que é uma sequência de trocas, multiplica $\Delta$ por $+1$ ou por $-1$: é par ou ímpar.

Cauchy usou essa observação para organizar as expressões que Leibniz, Cramer, Vandermonde e Laplace tinham encontrado ao resolver sistemas lineares. Dispôs os $n^2$ coeficientes num quadro, com dois índices, $a_{i,j}$, e definiu o determinante como a soma de todos os produtos com um elemento de cada linha e de cada coluna, cada um com o sinal da permutação correspondente:

$$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$

A palavra “determinante” vinha de Gauss, que a usara para as formas quadráticas; foi Cauchy quem a fixou no sentido de hoje.

O produto

O resultado principal da memória é o teorema do produto: se $C$ é o quadro obtido multiplicando $A$ por $B$ linha por coluna, então

$$\det C = \det A \cdot \det B.$$

Jacques Binet apresentou o mesmo teorema no mesmo ano, e a versão geral, para quadros retangulares, chama-se hoje fórmula de Cauchy–Binet. Veja com números. Com

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$$

temos $\det A = 6 - 1 = 5$ e $\det B = 1 - 8 = -7$. O produto é

$$AB = \begin{pmatrix} 2 + 2 & 8 + 1 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 7 & 7 \end{pmatrix},$$

e $\det(AB) = 28 - 63 = -35 = 5 \cdot (-7)$.

As permutações, trinta anos depois

Na memória gêmea de 1815, Cauchy estudou quantos valores diferentes uma função de $n$ variáveis pode tomar quando as variáveis são permutadas, continuando um trabalho de Lagrange e de Ruffini. Depois abandonou o assunto. Em 1844, de volta a Paris e sem poder ensinar, retomou-o com força e publicou em poucos meses uma série de artigos que fundaram a teoria dos grupos de permutações.

Foi ali que apareceu a notação de ciclos: $(1\;2\;3)$ quer dizer “1 vai para 2, 2 vai para 3, 3 vai para 1”. Para compor duas permutações, aplica-se primeiro a da direita. Com $\sigma = (1\;2\;3)$ e $\tau = (1\;2)$:

$$1 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 3, \qquad 2 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 2, \qquad 3 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 1,$$

e portanto $\sigma\tau = (1\;3)$. Um conjunto de permutações fechado pela composição, que Cauchy chamava de “sistema de substituições conjugadas”, é o que hoje se chama um grupo, a palavra que Galois tinha usado em papéis que só seriam publicados em 1846.

O teorema de Cauchy

Em 1845 Cauchy provou o teorema que leva o seu nome: se um número primo $p$ divide a quantidade de elementos de um grupo finito, então o grupo tem um elemento de ordem $p$, isto é, um $x \ne e$ com $x^p = e$.

A prova de Cauchy era longa. Em 1959, James McKay encontrou uma que cabe em poucas linhas. Considere as listas $(x_1, x_2, \ldots, x_p)$ de elementos do grupo $G$ com $x_1 x_2 \cdots x_p = e$. Os primeiros $p - 1$ elementos são livres, e o último fica determinado: há $|G|^{p-1}$ listas, um múltiplo de $p$. Se uma lista tem produto $e$, a lista girada $(x_2, \ldots, x_p, x_1)$ também tem. Girando, as listas se agrupam em blocos de $p$ listas diferentes, exceto as constantes $(x, x, \ldots, x)$, que ficam sozinhas, e são justamente as com $x^p = e$. Como o total é múltiplo de $p$ e os blocos também, o número de listas constantes é múltiplo de $p$. Uma delas é $(e, \ldots, e)$; logo existem pelo menos $p - 1$ outras, e cada uma dá um elemento de ordem $p$.

Exercício: o teorema de Cauchy em S₃

O grupo das permutações de $\{1, 2, 3\}$ tem $6 = 2 \cdot 3$ elementos. Encontre os elementos de ordem 2 e de ordem 3 que o teorema de Cauchy garante.

Os seis elementos são a identidade $e$, as três trocas $(1\;2)$, $(1\;3)$, $(2\;3)$ e os dois ciclos $(1\;2\;3)$, $(1\;3\;2)$. Cada troca, aplicada duas vezes, volta ao início: ordem 2. Cada ciclo de três, aplicado três vezes, volta ao início: ordem 3. Confira também a contagem de McKay: as soluções de $x^2 = e$ são $e$ e as três trocas, quatro ao todo, um múltiplo de 2; as de $x^3 = e$ são $e$ e os dois ciclos, três ao todo, um múltiplo de 3.

Exercício: o determinante de uma potência

Use o teorema do produto para calcular $\det(A^{10})$ com $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

$\det A = 0 - 1 = -1$. Pelo teorema do produto, $\det(A^{10}) = (\det A)^{10} = (-1)^{10} = 1$. Como curiosidade, $A^{10} = \begin{pmatrix} 89 & 55 \\ 55 & 34 \end{pmatrix}$, com números de Fibonacci, e de fato $89 \cdot 34 - 55^2 = 3026 - 3025 = 1$.

Fontes: Augustin-Louis Cauchy, “Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires…”, Journal de l’École polytechnique (1815) · Augustin-Louis Cauchy, “Mémoire sur les arrangements que l’on peut former avec des lettres données”, Exercices d’analyse et de physique mathématique 3 (1844) · James H. McKay, “Another proof of Cauchy’s group theorem”, American Mathematical Monthly 66 (1959) · Thomas Muir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, vol. 1 (1906).

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